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 Trois exercices type olympiades.

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alidos
Soukaina Amaadour
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AuteurMessage
Soukaina Amaadour
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Soukaina Amaadour


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MessageSujet: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyDim 29 Avr 2012, 15:27

Exercice 1

Résoud dans R l'équation suivante :
V(cosx) + V(sinx) =1


Exercice 2

Comparez:
555/666
4444/5555
et 333333/444444




Exercice 3

Considérons le nombre qui s'écrit sous la forme suivante : 200020002000 .... 2000
Sachant que 2000 se répète 2000 fois .
Est ce que ce nombre est un carré (moraba3oun kamil) ?


Dernière édition par Soukaina Amaadour le Mar 08 Mai 2012, 12:45, édité 1 fois
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alidos
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alidos


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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyLun 30 Avr 2012, 15:52

je vois rien :p
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nmo
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyLun 30 Avr 2012, 18:54

Soukaina Amaadour a écrit:
Exercice 3
Considérons le nombre qui s'écrit sous la forme suivante : 200020002000 .... 2000
Sachant que 2000 se répète 2000 fois .
Est ce que ce nombre est un carré (moraba3oun kamil) ?
C'est le seul exercice qui apparait, je propose alors ma solution:
Il est facile de remarquer que si on pose Trois exercices type olympiades. Gif où 2000 se répète 2000 fois, alors Trois exercices type olympiades. Gif, le dernier nombre se compose de Trois exercices type olympiades. Gif zéros.
Et donc Trois exercices type olympiades. Gif.
Il est facile de voir que 5 divise notre A. Et pour que a soit le carré d'un entier, il faut que l'exposant de 5 dans sa décomposition en facteurs premiers soit un entier pair.
Et comme Trois exercices type olympiades. Gif divise 2000, il faudrait au moins que Trois exercices type olympiades. Gif soit divisible par 5; i.e: il faut que le nombre des unités de Trois exercices type olympiades. Gif est 0 ou 5.
Cela n'est pas absolument le cas car le nombre des unités de Trois exercices type olympiades. Gif est 1.
Ainsi A ne peut pas être le carré d'un entier naturel.
Sauf erreurs.
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Oty
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyLun 30 Avr 2012, 23:08

pour le probleme 3 voila ce que je te propose : il est facile de montrer par une récurrence que : Trois exercices type olympiades. Gif.latex?A=2000.(\sum_{i=1}^{n}&space;10^{4(n-1)})=2000 , pour n=2000 .....
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Soukaina Amaadour
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Soukaina Amaadour


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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMar 01 Mai 2012, 01:40

Chapeau bas à nmo et Oty Very Happy
Il reste deux exos' maintenant.
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Oty
Expert sup



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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMar 01 Mai 2012, 01:53

je crois qu'on les vois pas ces deux exos ^^
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Soukaina Amaadour
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Soukaina Amaadour


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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMar 01 Mai 2012, 20:44

Exo 1 : Resoud dans R l'equation: V(cosx) + V(sinx) =1

Exo 2: Comparez:
555/666
4444/5555
et 333333/444444
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Oty
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMar 01 Mai 2012, 21:02

exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 02 Mai 2012, 13:04

Oty a écrit:
exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....

Y a un cas ou p=1/2 et T=1/2 --> cosx=1/4 et sins=1/4 -.....
Ta méthode ne le prend pas en compte! ??
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 02 Mai 2012, 13:08

Pour le dernier ex 555/666= 5/6 et 4444/5555=4/5 et 333333/444444=3/4
5/6>4/5 et 4/5>3/4 ainsi 555/666>4444/5555>333333>444444
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Oty
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 02 Mai 2012, 13:44

amigo-6 a écrit:
Oty a écrit:
exo 1: posant : t=rac(cos(x)) ; p=rac(sin(x)) , on a : t+p=1=t^4+p^4 , t(1-t^3)+p(1-p^3)=0 ,puisque 0=<t,p=<1 on a donc t (1-t^3)=0 et p (1-p^3)=0 .....

Y a un cas ou p=1/2 et T=1/2 --> cosx=1/4 et sins=1/4 -.....
Ta méthode ne le prend pas en compte! ??
tu es sur que ce que tu as ecris est correcte ? ton résultat donne 2 valeurs différente a ''x'' , ce qui est impossible !
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 02 Mai 2012, 13:58

ah oui dsl Very Happy
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 02 Mai 2012, 14:15


1)trouvez les entiers x y z tel que x^3+2y^3=4z^3

2) les bissectrices intérieures des angles <B et <C d un triangle ABC coupent les cotés en B' ET C' respectivement.
Démontrer que la droite B'C' coupe le cercle inscrit dans le triangle ABC! godd luck:D
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMar 08 Mai 2012, 20:53

1)
x^3=-2(y^3-2z^3)
x est donc pair
Concisérons x' un entier tel que x=2x'
On a donc : 8x'^3=2(2z^3-y^3)
donc: 4x' ^3=2z^3-y^3
Donc y^3= 2(z^3-2x'^3 )
y est donc pair !
Prenons: Y un entier tel que : y=2Y
Donc: 8x'^3+16Y^3=4z^3
Donc: z^3=2x'^3+2Y^3
Donc z^3=2(x'^3+Y^3)
z est aussi pair ..
Et puisque x , y et z sont des nombres pairs .. Cette équation n'a pas de solution dans IN !


Dernière édition par Soukaina Amaadour le Mer 27 Juin 2012, 23:00, édité 1 fois
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 09 Mai 2012, 14:01

Soukaina Amaadour a écrit:
1)
x^3=-2(y^3-2z^3)
x est donc pair
Concisérons x' un entier tel que x=2x'
On a donc : 8x'^3=2(2z^3-y^3)
donc: 4x' ^3=2z^3-y^3
Donc y^3= 2(z^3-2x'^3 )
y est donc pair !
Prenons: Y un entier tel que : y=2Y
Donc: 8x'^3+16Y^3=4z^3
Donc: z^3=2x'^3+2Y^3
Donc z^3=2(x'^3+Y^3)
z est aussi pair ..
Et puisque x , y et z sont des nombres pairs .. Cette équation n'a pas de solution dans R !

T es sur ? prend le cas x=y=z=0
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 09 Mai 2012, 21:29

Attend , un entier = 3adad 2awali c'est ça ?
Et d'après mes connaissances, un entier ne peu être divisé que par 1 et lui même !
Mais 0 se divise par tous les nombres non ?
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 09 Mai 2012, 21:40

Soukaina Amaadour a écrit:
Attend , un entier = 3adad 2awali c'est ça ?
Et d'après mes connaissances, un entier ne peu être divisé que par 1 et lui même !
Mais 0 se divise par tous les nombres non ?

Non , 3adad awali = nombre premier
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 09 Mai 2012, 22:17

Et entier c'est uoi ?
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az360
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MessageSujet: Re: Trois exercices type olympiades.   Trois exercices type olympiades. EmptyMer 09 Mai 2012, 23:11

adad sahih
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