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 inégalité type olympiade

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killua 001
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MessageSujet: inégalité type olympiade    Mer 09 Mai 2012, 13:18

soient a,b et c les longueurs des cotés d'un triangle .Demotrer que :

rac(a+b-c) + rac(b+c-a) + rac(a+c-b)=< rac a + rac b +rac c

et déterminer le cas d'égalité .


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amigo-6
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MessageSujet: Re: inégalité type olympiade    Mer 09 Mai 2012, 13:57

AVEC transformation de ravie on suppose que a=X+Y et b=Y+Z et c=Z+X ainsi:
on doit demontrer que rac(X+Y)+rac(Y+Z)+rac(Z+X)>=rac(2Y)+rac(2Z)+rac(2X)
AM GM => x+y>=2rac(xy)
2(x+y)>=(racx +racy)²
(x+y)/2>=(racx+racy)²/4
rac ((x+y)/2)>= (racx+racy) /2
de la meme maniere rac ((z+y)/2)>= (racz+racy) /2 et rac ((x+z)/2)>= (racx+racz) /2
on conclu que rac(X+Y)+rac(Y+Z)+rac(Z+X)>=rac(2Y)+rac(2Z)+rac(2X)
donc rac(a+b-c) + rac(b+c-a) + rac(a+c-b)=< rac a + rac b +rac c
le cas d eggalité est trivial est a=b=c
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killua 001
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MessageSujet: Re: inégalité type olympiade    Mer 09 Mai 2012, 14:42

wéé c'est tout a fait juste ... Very Happy .. et on peut utiliser ossi la transformation de ravi et Jensen
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amigo-6
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MessageSujet: Re: inégalité type olympiade    Mer 09 Mai 2012, 14:46

oui!
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killua 001
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MessageSujet: Re: inégalité type olympiade    Mer 09 Mai 2012, 15:20

après la transformation de Ravi ... l'inegalite a demo s'ecrit::
rac2 (rac x +rac y +rac z) =< rac(x+y) +rac( y+z) +rac (z+x)
or la fonction x--->rac x est concave ...
alors :1/2(rac x +rac y) =< rac(1/2(x+y) )
soit encore rac (x+y) >= rac 2/2( rac x +rac y) et rac (y+z)>= rac 2/2(racy+racz) et rac(z+x)>= rac 2/2(rac z + rac x)
. en sommant les 3 dernieres ineg ;on obtient que;
rac2 (rac x +rac y +rac z) =< rac(x+y) +rac( y+z) +rac (z+x) d'où la conclusion ..
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MessageSujet: Re: inégalité type olympiade    Aujourd'hui à 10:07

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