Inégalité

Soient a,b et c les longueurs des côtés d'un triangle, montrez que:
$Inégalité Gif$ .

Apres substitution de Ravi, l'inégalité devient équivalente à celle du BMO 2012, et qui est assez facile à résoudre Wink

Oui, c'est bien cela ! On peut aussi remarquer que:
$Inégalité Gif$ , d'après l'IAG et l'inégalité triangulaire.

bmo 2012=??

balkan math olym !!

Tu pourrais me passer le lien?

En effet , l'inégalité est vraie pour tous réels positifs.

Sporovitch a écrit:: En effet , l'inégalité est vraie pour tous réels positifs.

Oui, vous avez raison, voici ma démonstration:

On pose: $Inégalité Gif.latex?%5Csmall%20%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a%3Dx%5E2%5C%5C%20b%3Dy%5E2%5C%5C%20c%3Dz%5E2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$ , (x,y et z sont positifs) l'inégalité à démontrer devient:
$Inégalité Gif$
$Inégalité Gif$
Soient p,q et r les quantités habituelles, en tenant compte que: $Inégalité Gif$ , l'inégalité devient:
$Inégalité Gif$ , ce qui est n'est qu'un résultat de l'inégalité de Schur (t=1)...

Ou bien , on peut développer: $Inégalité Gif$ et ça donne immédiatement le résultat voulut.

salut a tous
voici une petit solution

$Inégalité Gif$

Oui C'est une inégalité équivalente à l'inégalité de Schur pour n=1 (en posant a=x² , b=y² , c=z²).