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 Petit exo d'arithmétique

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kprepaf
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Masculin Nombre de messages : 4
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MessageSujet: Petit exo d'arithmétique   Mer 30 Mai 2012, 10:57

1) montrer que 173 est premier. (fait)

2) Soient m et de IN* tels que m et n sont premiers entre eux et vérifient : m^14 + n^14 = 0 [173].

2-a) montrer que 173 ne divise pas m. (fait)
2-b) en déduire l'existence d'un entier relatif q tel que : mq = 1 [173] (fait bézout)

2-c) montrer que l'équation x^14 = 172 (x et 172 avec des barres dessus) a au moins une solution dans Z / 173Z. (je bloque sur cette question)

PS: niveau terminale S.M.

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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Petit exo d'arithmétique   Jeu 31 Mai 2012, 14:13

On a 172=-1 ( dans la classe d'équivalence modulo 173 ) ainsi : il suffit de prouver l'existence d'un x t.q : x^14=-1, mais puisque -m^14=n^14 , alors (nq)^14=-1 (puisque mq=1) donc il suffit de prendre x=nq, et le tour est joué Wink .
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kprepaf
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MessageSujet: Re: Petit exo d'arithmétique   Jeu 31 Mai 2012, 17:38

Mehdi.O a écrit:
On a 172=-1 ( dans la classe d'équivalence modulo 173 ) ainsi : il suffit de prouver l'existence d'un x t.q : x^14=-1, mais puisque -m^14=n^14 , alors (nq)^14=-1 (puisque mq=1) donc il suffit de prendre x=nq, et le tour est joué Wink .

Je pense que ton raisonnement est incorrect, car l'existence du couple (m;n) n'est pas réelle mais fait l'objet d'une proposition suffisante dans une implication et qui peut bien être fausse.
je te prie de relire l'énoncé encore une fois pour rectifier ce qu'il faut rectifier.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Petit exo d'arithmétique   Sam 02 Juin 2012, 15:05

En utilisant le théorème de Wilson tu peux démontrer que,(172/2)!^(2)=-1[173] après tu met le tout à la puissance 7.
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kprepaf
Débutant


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MessageSujet: Re: Petit exo d'arithmétique   Sam 02 Juin 2012, 16:41

darkpseudo a écrit:
En utilisant le théorème de Wilson tu peux démontrer que,(172/2)!^(2)=-1[173] après tu met le tout à la puissance 7.

Merci pour ta réponse, mais Wilson est hors programme. D'ailleurs cela semble être une grosse arme pour une telle question.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Petit exo d'arithmétique   Sam 02 Juin 2012, 19:31

173=2^(2)+13^(2), et tu multiplie par l'inverse de l'un des deux ( par exemple par 87^(2)). Après tu mets tout puissance 7.
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