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 arithmetique ^^

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AuteurMessage
killua 001
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Masculin Nombre de messages : 145
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MessageSujet: arithmetique ^^   Lun 25 Juin 2012, 12:09

déterminer tous les nombres premiers p tq 2^{p}+p^{2} est aussi un nombre premier .
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2221
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MessageSujet: Re: arithmetique ^^   Lun 25 Juin 2012, 13:09

killua 001 a écrit:
déterminer tous les nombres premiers p tq 2^{p}+p^{2} est aussi un nombre premier .
Voici ma solution:
*Pour p=2, on trouve que n'est pas premier.
*Pour p=3, on trouve que qui est bel et bien premier.
*On suppose maintenant que p est supérieur strictement à 3.
On a , ce qui impose que .
Et sachant que p est impair, il vient que p-1 est pair.
Et ainsi: .==>(1)
De plus: p est premier avec 3, ce qui donne selon le petit théorème de Fermat.==>(2)
De 1 et 2, on conclût que .
On déduit que n'est pas premier.
*Conclusion:
La seule valeur de p qui convient est p=3.
CQFD.
Sauf erreurs.
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killua 001
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MessageSujet: Re: arithmetique ^^   Lun 25 Juin 2012, 13:24

cheers joli
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killua 001
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MessageSujet: Re: arithmetique ^^   Lun 25 Juin 2012, 13:35

voila une atre sol ::

pour : p=2 : 2^p+p^2 n'est po un nombre premier
p=3 : 2^p+p^2 est nombre premier
p sup stric a 3 :

on a : 2^p = -1(3) et p^2=1(3) alors 2^p+p^2= 0(3)
alors : 3/(2^p+p^2) ce qui est impossibl car p sup strict a 3


donc la seul valeur de p est 3
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MessageSujet: Re: arithmetique ^^   Aujourd'hui à 03:57

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arithmetique ^^
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