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 Exos faciles

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5 participants
AuteurMessage
Top-Math
Féru



Masculin Nombre de messages : 59
Age : 27
Date d'inscription : 11/02/2012

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MessageSujet: Exos faciles   Exos faciles EmptyMer 10 Oct 2012, 18:55

Voici deux petits exercices faciles :
Montrer que pour tout Exos faciles Gif :
1) 3a-1 n'est pas un carré parfait
2) a s'écrit sous la forme : Exos faciles Gif
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Soukaina Amaadour
Maître
Soukaina Amaadour


Féminin Nombre de messages : 230
Age : 27
Localisation : Casablanca, Maroc
Date d'inscription : 13/10/2011

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptyDim 14 Oct 2012, 13:22

1) Supposons par absurde que 3a-1=n² / n appartient à IN.
Et donc 3a=n²+1

Et donc (n²+1)/3=a

on a : On a n appartient à IN , donc: Exos faciles Gif Exos faciles K\in&space;\mathbb{N}




Exos faciles Gif

On étudie les cas :
1er cas: n²=9k²
Alors: Exos faciles Gif

2ème cas:n²=9k²+6k+1

Donc: Exos faciles Gif.latex?\frac{n^{2}+1}{3}=\frac{9k^{2}+6k+1+1}{3}=\frac{3(k^{2}+k)+2}{3}=k^{2}+k+\frac{2}{3}



3ème cas: n²=9k²+12k+4

Et donc: Exos faciles Gif




Donc : Exos faciles Gif.latex?\forall&space;n\in&space;\mathbb{N}:\frac{n^{2}+1}{3}\notin&space;\mathbb{N}

On en déduit que : n²+1#3a
Et donc 3a-1 n'est pas un carré parfait.


2) Prouvons que a=2^q(2p+1)

On a


Exos faciles &space;(k,p)\in&space;\mathbb{N}^{2}


k appartient à IN <=> k est pair ou k est impair.
Et donc : Exos faciles &space;(n,p,r)\in&space;\mathbb{N}^{3}

Et donc: Exos faciles &space;(p,q)\in&space;\mathbb{N}^{2}
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Soukaina Amaadour
Maître
Soukaina Amaadour


Féminin Nombre de messages : 230
Age : 27
Localisation : Casablanca, Maroc
Date d'inscription : 13/10/2011

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptyDim 14 Oct 2012, 13:23

P.S: L'exercice 1 est déjà posté dans un aure topic.
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Gauss-Maxwell
Débutant
Gauss-Maxwell


Masculin Nombre de messages : 9
Age : 27
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 01/09/2012

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptySam 20 Oct 2012, 13:29

Soukaina Amaadour , j'ai pas bien compris ta solution du 2eme exo , tu peux mieux expliquer ? Smile
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Soukaina Amaadour
Maître
Soukaina Amaadour


Féminin Nombre de messages : 230
Age : 27
Localisation : Casablanca, Maroc
Date d'inscription : 13/10/2011

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptySam 20 Oct 2012, 22:29

Gauss-Maxwell a écrit:
Soukaina Amaadour , j'ai pas bien compris ta solution du 2eme exo , tu peux mieux expliquer ? Smile

Si a est impair, alors il s'écrit sous la forme suivante: a=2p+1

Si a est pair, alors il s'écrit de la façon suivante: a=2k / k appartient à IN

*Si K est impair alors a=2^1 *(2r+1)

*Si k est pair alors : a=2^2*k'
.......

Alors d'une façon générale : tout entier s'ecrit sous la forme : a=2^q *(2p+1) /(p,q) apprtiennent à IN²
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
Age : 30
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptyMer 24 Oct 2012, 23:51

Soukaina Amaadour a écrit:
Gauss-Maxwell a écrit:
Soukaina Amaadour , j'ai pas bien compris ta solution du 2eme exo , tu peux mieux expliquer ? Smile
Si a est impair, alors il s'écrit sous la forme suivante: a=2p+1
Si a est pair, alors il s'écrit de la façon suivante: a=2k / k appartient à IN
*Si K est impair alors a=2^1 *(2r+1)
*Si k est pair alors : a=2^2*k'
......
Alors d'une façon générale : tout entier s'ecrit sous la forme : a=2^q *(2p+1) /(p,q) apprtiennent à IN²
Il faut chercher une démonstration de ce que tu dis, en d'autre terme: c'est quoi q par rapport à l'entier a?
Je te laisse réfléchir encore une fois.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptyJeu 25 Oct 2012, 10:37

2) n doit être non nul
q=Max{m dans N: 2^m divise n}
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
Age : 30
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles EmptySam 27 Oct 2012, 17:59

abdelbaki.attioui a écrit:
2) n doit être non nul
q=Max{m dans N: 2^m divise n}
Oui, c'est la bonne réponse.
Il suffit de faire la décomposition de n en facteurs premiers.
On aura: Exos faciles Gif où les Exos faciles Gif sont des entiers naturels, les Exos faciles Gif sont des entiers premiers.
Ce qui deviendra encore: Exos faciles Gif.latex?n=2^a avec les Exos faciles Gif sont des entiers naturels, les Exos faciles Gif sont des entiers premiers tous différent de 2.
Il s'ensuit que Exos faciles Gif est un entier impair.
On pose Exos faciles Gif tel que k est un entier naturel.
Finalement, on aura Exos faciles Gif.latex?(\forall n\in\mathhbb{N}) : (\exists (a,k)\in\mathbb{N}^2) :n=2^a.
Sauf erreurs.


Dernière édition par nmo le Sam 27 Oct 2012, 20:55, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Exos faciles   Exos faciles Empty

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