exo sur les suites

salam
je vous propose deux exo

Exo1:
soit f une injection de N vers N montrer que la suite Un=f(n) tend vers +l'infini

Exo2:
montrer que toute suite réelle admet un sous suite monotone

j'attend vos idées

j'ai trouvé exo 1 soit M>0
E=(n E N / f(n)<M ) et (f injective ==> E fini) N=maxE
donc qqs n>N f(n)>=M ==> f(n) --->+infinit

j'attend vos idées pour exo2

Ex2
soit (x(n)) une suite réelle

E={ n dans IN / x(n) <x(m) qqs m>n}

Si E est fini , soit N=Max E

f(0)= Min { m> N tel que x(N+1)>=x(m) } ==> f(0)>N+1
f(1)= Min { m> f(0) tel que x(f(0))>=x(m) } ==> x(f(0))>=x(f(1))
...
f(n)= Min { m> f(n-1) tel que x(f(n-1))>=x(m) } ==> x(f(n-1))>=x(f(n))

f est strict croissante ==> (x(f(n))) est une sous suite qui est décroissante


si E est infini ==> après ordre croissant de ces éléments
E={ f(0), f(1), ....} avec f est strict croissante

la suite (x(f(n))) est une sous suite qui est par définition croissante