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 Simple Question

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3 participants
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IMANE1
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Féminin Nombre de messages : 77
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MessageSujet: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 16:06

Bonjour tout le monde ,

Je me demande pourquoi les fonctions trigonométriques n'ont pas de limite quand x tend vers +oo , Normalement , dans une fonction sin ou cos le x peut prendre toute les valeurs , Donc pourquoi pas de limite en +oo , Merci !
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princessdesmaths
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princessdesmaths


Féminin Nombre de messages : 149
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 16:27

c'est une fonction periodique !
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IMANE1
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Féminin Nombre de messages : 77
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 16:31

Ouii , c vrai , j'ai oublié ce point . Merci beaucouup ! Very Happy Very Happy
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IMANE1
Maître



Féminin Nombre de messages : 77
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 16:33

Donc , c pourquoi il n'admette de limite que dans des points ?
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ali-mes
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Masculin Nombre de messages : 986
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 18:59

IMANE1 a écrit:
Bonjour tout le monde ,

Je me demande pourquoi les fonctions trigonométriques n'ont pas de limite quand x tend vers +oo , Normalement , dans une fonction sin ou cos le x peut prendre toute les valeurs , Donc pourquoi pas de limite en +oo , Merci !

Cela se démontre:

Lemme: Soit f une fonction périodique de période T>0, on suppose que: Simple Question  Gif. Donc la fonction f est constante.

Preuve 1: Montrons que: Simple Question  Gif.
Par l'absurde, on suppose que: Simple Question  Gif (et que aussi Simple Question  Gif).
On a: Simple Question  Gif, alors:
Simple Question  Gif.
On prends: Simple Question  Gif, il s'en suit que:
Simple Question  Gif.
f est T-périodique, donc: Simple Question  Gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{Z}):%20f(a+n.
On choisit un entier relatif n suffisamment large tel que: Simple Question  Gif (Par exemple: Simple Question  Gif ou bien Simple Question  Gif.latex?n=E(\frac{B-a}{T})+999.. rabbit ).
Donc: Simple Question  Gif ou: Simple Question  Gif: ABSURDE !
D'où: Simple Question  Gif.

Preuve 2:
Soit: Simple Question  Gif, on a: Simple Question  Gif. Donc:
Simple Question  Gif.
Soient a et b deux réels , il existe k et h de Z tel que:
Simple Question  Gif. Alors:
Simple Question  Gif ou: Simple Question  Gif (f est T-périodique).
Et on a d'après l'inégo triangulaire:
Simple Question  Gif.
On fait tendre epsilon vers 0, et on obtient f(a)=f(b). Cela implique que f est constante.

Preuve 3: pour tt entier relatif n on a: f(x+nT)=f(x).
On a: Simple Question  Gif et: Simple Question  Gif (X=x+nT)
Donc: Simple Question  Gif.

Revenons au problème:
Puisque la fonction cos est une fonction périodique et non-constante, on déduit d'après le lemme démontré que cette fonction n'admet pas une limite finie en +oo (ni dans -oo).
Et puisque pour tout réel x: -1=< cos(x)=< 1, on conclut que cos n'admet pas une limite infinie, et il résulte qu'elle n'admet pas une limite en +oo (ni dans -oo). Et la même chose pour la fonction sinus...


Dernière édition par ali-mes le Dim 29 Juil 2012, 21:13, édité 1 fois
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princessdesmaths
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Féminin Nombre de messages : 149
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyDim 29 Juil 2012, 20:14

ali-mes a écrit:
IMANE1 a écrit:
Bonjour tout le monde ,

Je me demande pourquoi les fonctions trigonométriques n'ont pas de limite quand x tend vers +oo , Normalement , dans une fonction sin ou cos le x peut prendre toute les valeurs , Donc pourquoi pas de limite en +oo , Merci !

Cela se démontre:

Lemme: Soit f une fonction périodique de période T>0, on suppose que: Simple Question  Gif. Donc la fonction f est constante.

Preuve 1: Montrons que: Simple Question  Gif.
Par l'absurde, on suppose que: Simple Question  Gif (et que aussi Simple Question  Gif).
On a: Simple Question  Gif, alors:
Simple Question  Gif.
On prends: Simple Question  Gif, il s'en suit que:
Simple Question  Gif.
f est T-périodique, donc: Simple Question  Gif.latex?(\forall%20n\in%20\mathbb{Z}):%20f(a+n.
On choisit un entier relatif n suffisamment large tel que: Simple Question  Gif (Par exemple: Simple Question  Gif ou bien Simple Question  Gif.latex?n=E(\frac{B-a}{T})+999.. rabbit ).
Donc: Simple Question  Gif ou: Simple Question  Gif: ABSURDE !
D'où: Simple Question  Gif.

Preuve 2:
Soit: Simple Question  Gif, on a: Simple Question  Gif. Donc:
Simple Question  Gif.
Soient a et b deux réels , il existe k et h de Z tel que:
Simple Question  Gif. Alors:
Simple Question  Gif ou: Simple Question  Gif (f est T-périodique).
Et on a d'après l'inégo triangulaire:
Simple Question  Gif.
On fait tendre epsilon vers 0, et on obtient f(a)=f(b). Cela implique que f est constante.

Preuve 3: pour tt entier relatif n on a: f(x+nT)=f(x).
On a: Simple Question  Gif et: Simple Question  Gif (X=x+nT)
Donc: Simple Question  Gif.

Revenons au problème:
Puisque la fonctions cos est une fonction périodique et non-constantes, on déduit d'après le lemme démontré que cette fonction n'admet pas une limite finie en +oo (ni dans -oo).
Et puisque pour tout réel x: -1=< cos(x)=< 1, on conclut que cos n'admet pas une limite infinie, et il résulte qu'elle n'admet pas une limite en +oo (ni dans -oo). Et la même chose pour la fonction sinus...
belle démonstration Cool
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IMANE1
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  EmptyLun 30 Juil 2012, 01:38

MERCI Smile
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MessageSujet: Re: Simple Question    Simple Question  Empty

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