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 Problèmes depuis la Mongolie:

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nmo
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MessageSujet: Problèmes depuis la Mongolie:   Problèmes depuis la Mongolie: EmptyJeu 09 Aoû 2012, 15:21

Problème1:
Let Problèmes depuis la Mongolie: Gif be the line which connects the tangency points other than in side Problèmes depuis la Mongolie: Gif of the excircle of convex quadrilateral Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Problèmes depuis la Mongolie: Gif, Problèmes depuis la Mongolie: Gif and Problèmes depuis la Mongolie: Gif are similarly determined by the excircles of Problèmes depuis la Mongolie: Gif, Problèmes depuis la Mongolie: Gif and Problèmes depuis la Mongolie: Gif respectively.
Let Problèmes depuis la Mongolie: Gif, Problèmes depuis la Mongolie: Gif, Problèmes depuis la Mongolie: Gif and Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Prove that the line Problèmes depuis la Mongolie: Gif goes through the midpoint of Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Problème2:
Let x, y and z be positive real numbers such that Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Prove that: Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Problème3:
From three real number Problèmes depuis la Mongolie: Gif we can get another three numbers either Problèmes depuis la Mongolie: Gif or Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Can we get Problèmes depuis la Mongolie: Gif from Problèmes depuis la Mongolie: Gif appliying these two operations adequately many times.
Problème4:
Let Problèmes depuis la Mongolie: Gif be the circumcenter of triangle Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
A line perpendicular to Problèmes depuis la Mongolie: Gif trough Problèmes depuis la Mongolie: Gif meets the midperpendicular Problèmes depuis la Mongolie: Gif at Problèmes depuis la Mongolie: Gif, and a line perpendicular to Problèmes depuis la Mongolie: Gif trough Problèmes depuis la Mongolie: Gif meets the midperpendicular Problèmes depuis la Mongolie: Gif at Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
If Problèmes depuis la Mongolie: Gif is the circumcenter of Problèmes depuis la Mongolie: Gif, prove that Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Problème5:
Find all functions Problèmes depuis la Mongolie: Gif such that for any Problèmes depuis la Mongolie: Gif, the equality Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Problème6:
Prove that for any Problèmes depuis la Mongolie: Gif there exists Problèmes depuis la Mongolie: Gif such that Problèmes depuis la Mongolie: Gif.
Bonne chance.[b]
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: Problèmes depuis la Mongolie:   Problèmes depuis la Mongolie: EmptyJeu 09 Aoû 2012, 17:10

Pb 5
f injective
car f(x)=f(y) ==> 2f(x)+f(y)=2f(y)+f(x) ==> 2x+f(y)=2y+f(x)==> x=y
P(0,y) ===> f(2f(0)+f(y))=f(y)==> 2f(0)+f(y)=y ==> f(0)=0 ==> f(y)=y

_________________
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MessageSujet: Re: Problèmes depuis la Mongolie:   Problèmes depuis la Mongolie: EmptyJeu 09 Aoû 2012, 17:15

PROBLEME 5:

tout d'abord on va montrer que f est injective : : posons f(a)=f(b) implique f(2f(a)+f(b))=f(2f(b)+f(a)) alors a=b donc f est injective ..

prenons x=y=0 : f(0)=0

prenons x=0 on obtient que f(y)=y

d'ou la solution
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killua 001
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MessageSujet: Re: Problèmes depuis la Mongolie:   Problèmes depuis la Mongolie: EmptyJeu 09 Aoû 2012, 17:16

abdelbaki.attioui a écrit:
Pb 5
f injective
car f(x)=f(y) ==> 2f(x)+f(y)=2f(y)+f(x) ==> 2x+f(y)=2y+f(x)==> x=y
P(0,y) ===> f(2f(0)+f(y))=f(y)==> 2f(0)+f(y)=y ==> f(0)=0 ==> f(y)=y


oops ..!!
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