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 Inégalité (3)

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abdelbaki.attioui
aymas
Oty
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AuteurMessage
younesmath2012
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younesmath2012


Masculin Nombre de messages : 561
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Inégalité (3)  - Page 2 Empty
MessageSujet: Re: Inégalité (3)    Inégalité (3)  - Page 2 EmptyMer 24 Oct 2012, 10:29

nmo a écrit:
Oty a écrit:
soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
Inégalité (3)  - Page 2 Gif .
J'ai voulu rédiger cette solution vers midi, mais l'ordinateur s'est redémarré inopinément!
Le même sort il y a quelques minutes...
Mais, vu que personne n'a fait ce que j'ai en tête, je le partage encore une fois:
Je distingue deux cas:
*Si l'une des variables est nulle:
On suppose par symétrie qu'on a c=0, la contrainte se réduit à ab=3, et on doit démontrer que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Cette inégalité équivaut à Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Ce qui est trivialement vrai d'après l'inégalité arithmético-géométrique.
*Si aucune des variables n'est nulle:
On pose premièrement: Inégalité (3)  - Page 2 Gif, Inégalité (3)  - Page 2 Gif et Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Donc Inégalité (3)  - Page 2 Gif, Inégalité (3)  - Page 2 Gif et Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La contrainte devient Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Et l'inégalité, quant à elle, devient: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
On songe à l'inégalité de Jensen.
On considère la fonction f définie par: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels, et sa fonction dérivée: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe. On peut donc appliquer l'inégalité de Jensen: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Soit Inégalité (3)  - Page 2 Gif. ==>(1)
D'un autre côté, on a selon l'inégalité arithmético-géométrique: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Ce qui veut bien dire que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Une simple manipulation nous emmène vers Inégalité (3)  - Page 2 Gif. ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
*Les cas d'égalité:
On déduit que notre inégalité devient une égalité si et seulement si:
_Tous les variables valent 1 (Le second cas).
_Une variable est nulle et les deux autres valent Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
CQFD.
Sauf erreurs.


salut vous avez ecrit La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe.
ce qui est totalement faux car Inégalité (3)  - Page 2 Gif

donc votre reponse est fausse Mr "nmo" mais elle reste belle ideé!!!
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2249
Age : 30
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

Inégalité (3)  - Page 2 Empty
MessageSujet: Re: Inégalité (3)    Inégalité (3)  - Page 2 EmptyMer 24 Oct 2012, 23:04

younesmath2012 a écrit:
nmo a écrit:
Oty a écrit:
soit a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 , Prouver que :
Inégalité (3)  - Page 2 Gif .
J'ai voulu rédiger cette solution vers midi, mais l'ordinateur s'est redémarré inopinément!
Le même sort il y a quelques minutes...
Mais, vu que personne n'a fait ce que j'ai en tête, je le partage encore une fois:
Je distingue deux cas:
*Si l'une des variables est nulle:
On suppose par symétrie qu'on a c=0, la contrainte se réduit à ab=3, et on doit démontrer que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Cette inégalité équivaut à Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Ce qui est trivialement vrai d'après l'inégalité arithmético-géométrique.
*Si aucune des variables n'est nulle:
On pose premièrement: Inégalité (3)  - Page 2 Gif, Inégalité (3)  - Page 2 Gif et Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Donc Inégalité (3)  - Page 2 Gif, Inégalité (3)  - Page 2 Gif et Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La contrainte devient Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Et l'inégalité, quant à elle, devient: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
On songe à l'inégalité de Jensen.
On considère la fonction f définie par: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels, et sa fonction dérivée: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe. On peut donc appliquer l'inégalité de Jensen: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Soit Inégalité (3)  - Page 2 Gif. ==>(1)
D'un autre côté, on a selon l'inégalité arithmético-géométrique: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Ce qui veut bien dire que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Une simple manipulation nous emmène vers Inégalité (3)  - Page 2 Gif. ==>(2)
De 1 et 2, on conclut que Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
*Les cas d'égalité:
On déduit que notre inégalité devient une égalité si et seulement si:
_Tous les variables valent 1 (Le second cas).
_Une variable est nulle et les deux autres valent Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
CQFD.
Sauf erreurs.
salut vous avez ecrit La fonction f' est dérivable sur l'ensemble des réels, et on a: Inégalité (3)  - Page 2 Gif.
Puisque f'' est positive ou nulle, on déduit que f est une fonction convexe.
ce qui est totalement faux car Inégalité (3)  - Page 2 Gif
donc votre reponse est fausse Mr "nmo" mais elle reste belle ideé!!!
J'ai vérifié avec wolfram alpha! Et tu avais raison,
Ma solution est déjà dite fausse...
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