si c'est le cas , il faut prouver que au moins un de ces trois nombres a,b et c est toujours >= 4\9 .
d'ou par l'absurde assumant a et b et c sont tout les trois < 4\9 .
comme b < 4\9 alors x+y-2xy < 4\9 => (par AM-GM) \sqrt(xy}-xy < 2\9 on pose t=\sqrt{xy} on a t-t²<2\9 => (t-1\3)(t-2\3)>0 ainsi , soit xy < 1\9 soit xy >4\9 et donc il s"ensuit que : xy < 1\9 (le 2eme cas est impossible en raison de notre supposition )
et comme on a : c< 4\9 => x+y-xy > 5\9 , nous donne :
b=x+y-xy - xy > 5\9-1\9=4\9 , contradiction .
(ici x,y designe alpha et beta )
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