facile!!!!

a,b,c>=0 tq $facile!!!! Gif$ montrer que $facile!!!! Gif$

vraiment c'est facile

me consérnant j'essaye qu'avec les inégalité que je trouve intéressante sinon j'y touche pas ,
voici ma solution pour celle ci :
Raisonnant par contraposition , il suffit de prouver que si :
2(a²+b²+c²)< 3abc alors (a+b+c) < abc notons que si l'une des variable est nul l'inégalité est clairement vérifier .
maintenant pour les trois non nul
on a : a\bc + b\ca+ c\ab < 3\2 et il faut qu'on montre \sum 1\bc < 1 .
assumant a >=b >=c => ab >=ac >=bc
d'ou par chebichev :
(a+b+c) (\sum 1\bc) =< 3 \sum a\bc < 9\2 => \sum 1\bc < 9\2(a+b+c) ansi il suffit de prouver que : 2(a+b+c) > 9 (1) . Par AM-GM on a d'apres la condition :
(a+b+c)² < 3 (a²+b²+c² )< 9\2 abc < (a+b+c)^3\6 => a+b+c > 6 .
d'ou (1) est vrai , fin de la preuve . Smile

oui juste , on peut aussi la faire directement

j'aimerez voir votre solution Smile

.

posons abc=r^3
on a $facile!!!! Gif$ on veut montrer que $facile!!!! Gif$
par am-gm on a: $facile!!!! Gif$ et on a $facile!!!! Gif.latex?3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq(a+b+c)^{2}%20\geq%20r^{6}...(d'apres%20.$ donc en multipliant on trouve $facile!!!! Gif$ donc $facile!!!! Gif.latex?3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq%203r^{4}%20...et...on...a..$ puis on sommant on trouve $facile!!!! Gif$ finalement $facile!!!! Gif$

oui Bravo j'avais fait un début similaire , mais il m'a semblé que la contraposition serait plus utile ....

Est ce qu'il y a des valeurs de x, y et z pour lesquels l'inégalité devient une égalité?
Généralement, on doit les trouver parce que l'inégalité n'est pas stricte!
Merci.

a=b=c=0

.

Oty a écrit:: a=b=c=0 .

Oui, et je pense qu'il n'y a plus d'autres triplets!
J'ai posé la question car j'ai pensé à une autre méthode qui ne va plus me donner un cas d'égalité si les trois variables sont non nuls.