1) si deux entre a,b,c est égale c'est facile a résoudre le système ...
supposons que les trois sont différents deux a deux .
f(x) = x^3 - 6x²+9x- abc
les a,b,c sont des solutions de f(x) = 0 .
d'autre part on a : f'(x) = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-3)(x-1)
pour que la fonction aura trois solution différent il faut que : f(1) sup a 0 et f(3) inf a 0 .
donc : 0<= abc =<4 (*)
on va supposer que : a <= b <= c
par l'absurde supp. que : a < 0 . d'apres (*) on aura forcement b < 0 et par : a+b+c = 6 on déduit que : 6 < c et donc : 36 < c²
d'autre part on a : a²+b²+c² = 36-18 = 18 impossible car 36 < c² .
donc : 0 <= a .
2)
on a :
alors : (a+b)²/2 < a²+b² = 18 -c² donc : -12c + 3c² < 0 (a+b = 6-c)
et alors : 3c(c-4) < 0 mais on a : 0<c alors c < 4 .
3)
(c-a)² = c² + a² - 2ac = 18 - b² - 2(9 - b(a+c)) = -b² + 2b(6-b) = -3(b-2)² + 12 < 12
donc : c-a < 2sqrt(3) .
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