problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)

(l'énoncé est corrigé c'est n^3 et non n^4 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
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Merci

Question: le reste en fx de n???

rockabdel a écrit:

Question: le reste en fx de n???

essayer maintenant car c'est corrigé maintenat .
merci pour votre compréhension

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
P(n)=n^9-6n^7+9n^5-4n^3 =n^3(n²-1)²(n²-4)
Pour tout n, P(n) est divisible par 5 entiers consécutifs
==> 5|P(n)

si 3|n ==> 3^3 |n^3
si 3|n-1 ==> 3^3 |(n-1)²(n+2)
si 3|n+1 ==> 3^3 |(n+1)²(n-2)
==> 3^3|P(n)

si 2^2|n ==> 2^6|n^3
si 2^2|n-1 ==> 2^6|(n-1)²(n+1)²
si 2^2|n-2 ==> 2^6|n²(n+1)²(n²-4)
si 2^2|n+1 ==> 2^6|(n+1)²(n-1)²
==> 2^6|P(n)

Donc, pour tout entier n,
le reste de la division de P(n) par 8640=2^6.3^3.5 est nul.
A+

solution postée
voici la solution de selfrespect
salut
posons
on remarque que
P(n) s ecrit
ou bien
d autre part nous avons
**on a P(n)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)*A(n) /a(n)£N
==> 5/P(n) (car toujours parmi 5 entiers cosecutifs il y ona un multiple de cinq)
***si n=0[4]
ôn a
*** n=1[4]==>n-1=0[4] et 2/(n+1)==> 4²/(n-1)² et 4/(n+1)²
donc
*** n=2[4]==>n-2=0[4] et 2/(n+2) et 2/n
==>4/(n-2) et 2/(n+2) et 8/n
===>
de meme on traite les cas n=-1[4] etn=-2[4]
donc 4^3/P(n)
****n=0[3]==>3^3/n^3
n=1[3] ==>3²/(n-1)² et 3/(n+2)
n=-1[3] ==>3/(n-2) et 3²/(n+1)²
dans tout les cas 3^3/P(n)
danc cad P(n)=0[8640]

Bonsoir
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonsoir Samir

Remarquons que: P(n) = n^3 (n² -1)²(n²-4) et 8640 = 2^6*3^3*5 =N
On a : P(0)=P(1) =p(-1) =P(2) =P(-2)=0
Montrons que: P(n) = 0 [N ] pour tt n >=3. ( = désigne congû )
Puisque 2;3;et 5 sonts premiers entre eux :Mq : 2^6 / P(n) ; 3^3 / P(n) et 5/ P(n) pour tt n.

(*).n=0[3] =====>3^3/ n^3 ====>3^3/P(n)
.n=+1 ou-1[3]=====>3/n²-1 et 3/n²-4 =====>3^3/P(n)
conclusion: 3^3/P(n) pour tt n>=3

(*).n=0[5]===>5/P(n)
.n=+1ou-1[5]===>5/n²-1=====>5/P(n)
.n=+2ou-2[5]===>5/n²-4 =====> 5/P(n)
conclusion: 5/P(n) pour tt n>=3

(*).n=0[8] =====>8²/P(n)
.n=+1ou-1[8]=====> 8/n²-1====>8²/P(n)
.n=+2ou-2[8] =====> 8/n^3 et 8/ n²-4 ====>8²/P(n)
.n= +3ou-3[8] ===> 8/ n²-1 ====>8²/P(n)
.n= 4[8] ===> 8/n² et 4/n et 2/n-2 ===>8²/P(n)
conclusion: 8²/P(n) pour tt n>=3

conclusion : P(n) = 0 [N] pour tt n dans IN

solution postée
voici la solution d'abbas

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor
Soit P(n)=n^9-6n^7+9n^5-4n^3
On remarque que 8640=2^6*3^3*5

En factorisant,on obtient P(n)=(n-2)*(n-1)^2*n^3*(n+1)^2*(n+2)

n-2,n-1,n,n+1,n+2 sont cinq entiers consécutifs,donc l'un au moins est multiple de 5.
Donc P(n) est multiple de 5.

De même l'un au moins des cinq entiers est multiple de 3.Ce qui donne trois cas possibles:
1/n-2 et n+1 sont multiples de 3,donc P(n) est multiple de 3^3.
2/n-1 et n+2 sont multiples de 3,donc P(n) est multiple de 3^3.
3/n est multiple de 3,alors P(n) est multiple de 3^3.
Donc dans tous les cas,P(n) est multiple de 3^3.

Enfin l'un au moins des cinq entiers est multiple de 4.Ce qui donne quatre cas possibles.
1/n-2 et n+2 sont multiples de 4,n est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^7.
2/n-1 est multiple de 4,n+1 est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^6.
3/n est multiple de 4,n-2 et n+2 sont multiples de 2,donc P(n) est multiple de 2^8.
4/n+1 est multiple de 4,n-1 est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^6.
Donc dans tous les cas,P(n) est multiple de 2^6.

2,3,5 étant premiers entre eux,P(n) est multiple de 2^6*3^3*5=8640.
Le reste de la division de P(n) par 8640 est donc 0.

A+

Kendor