intéressante question , il est de qu'elle niveau cette exercice ?
je suis pas sur ; mais voici le raisonnement que j'ai suivi espérant qu'il y ait pas d'erreur .
il suffit de trouver une relation de type :
ou encore de chercher a et b vérifiant :
x^4+(3-b)y^{4}\geq&space;2y^{m+1}x^{n})
Par AM-GM : on a
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?ax^4+by^4&space;\geq&space;(a+b)\sqrt[a+b]{x^{4a}y^{4b}}&space;,&space;et&space;(2-a)x^4&space;+(3-b)y^4&space;\geq&space;(5-a-b)\sqrt[5-a-b]{x^{4(2-a)}y^{4(3-b)}}[/img]
comme en veut éliminer les coefficient 3 et 2 on choisit a+b=3 ,
il en découle les deux égalité suivante :
}y^{2(3-b)}=x^{n}y^{m+1})
il s'ensuit que : n+1=4a\3 et n=2(2-a) , m=4b\3 et m+1=2(3-b)
d'ou n=(2a+1)\4 et 4m=(2b+5\4) ainsi 4(m+n)= 6+6=12 d'ou m+n=3 .
comme l'inégalité est cyclique ce résultat est valable pour tout les autre terme (d'une maniere analogue)
d'ou on obtient :
(y^nz^m)(z^nx^m)=(xyz)^{m+n}=(xyz)^3)
et celle ci est toujours vrai suivant AM-GM , par conséquent il suffit de choisir r=3 , ce qui répond au probleme sauf erreur
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