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 Classique mais beau

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konica
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konica

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MessageSujet: Classique mais beau   Classique mais beau EmptyMar 04 Sep 2012, 14:20

Soient a et b deux entiers naturels tels que ab divise a²+b²+2.

Prouver que : (a²+b²+2)/ab = 4

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konica
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptyVen 07 Sep 2012, 17:11

Indice :

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judicecharatein
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptySam 08 Sep 2012, 19:28

salam!
j'ai voulu partager ma solution ,aussi bizarre soit-elle pour comprendre cette méthode que je viens de découvrir .si c'est faux j'aimerais bien avoir une correction pour comprendre Smile

supposons l'existence d'une ou de plusieurs solutions de l'équation (a²+b²+2)/ab =k pour lesquels k=/=4
pour une certaine valeur de k soit (m,n) une solution pour la quelle m+n est minimale et m>=n
remplaçons a par une variable x dans l'équation
donc Mad²+n²+2-kxn=0
x_1=m est une solution, l'autre solution s'écrit donc Mad_2=(n²+2)/m et on a m/m²+n²+2 donc m/n²+2 et donc x_2 £N* et enfin
m²>=n²>n²+2 donc x_2=(n²+2)/m<m d'où x_2+n<m+n ce qui est contradictoire à la première proposition
d'où la conclusion.
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptySam 08 Sep 2012, 20:14

judicecharatein a écrit:

m²>=n²>n²+2 donc ...
c'esi ici la faute n'est ce pas?????
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptySam 08 Sep 2012, 20:27

c'est une faute mais on peut l'arranger en écartant le cas m=n il s'ensuit que
[img]Classique mais beau Codeco13[/img]
et on conclut .Or, selon ce que je crois la faute se cache ailleurs... Cool
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptySam 08 Sep 2012, 20:36

c'est définitive maintenant votre solution est sans erreur...j'ai cru que le delte de l'équations est négative mais il ne l'ai pas d'un certain rang de k,n ( on écarte des cas précis )
je te filicite pour cette sol. pertinente. Smile
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konica
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MessageSujet: Re: Classique mais beau   Classique mais beau EmptyDim 09 Sep 2012, 19:50

Citation :
salam!
j'ai voulu partager ma solution ,aussi bizarre soit-elle pour comprendre cette méthode que je viens de découvrir .si c'est faux j'aimerais bien avoir une correction pour comprendre Smile

supposons l'existence d'une ou de plusieurs solutions de l'équation (a²+b²+2)/ab =k pour lesquels k=/=4
pour une certaine valeur de k soit (m,n) une solution pour la quelle m+n est minimale et m>=n
remplaçons a par une variable x dans l'équation
donc Mad²+n²+2-kxn=0
x_1=m est une solution, l'autre solution s'écrit donc Mad_2=(n²+2)/m et on a m/m²+n²+2 donc m/n²+2 et donc x_2 £N* et enfin
m²>=n²>n²+2 donc x_2=(n²+2)/m<m d'où x_2+n<m+n ce qui est contradictoire à la première proposition
d'où la conclusion.

C'est bien mais c'est incomplet. Voilà une solution, mais elle reste à confirmer.


Solution :

On veut prouver que si a et b sont deux entiers naturels tels que ab divise a²+b²+b alors
Classique mais beau Codeco11
Soit : Classique mais beau Codeco12
On fixe k et on considère tous les couples (a,b) qui satisfont l'équation Classique mais beau Codeco13
Si a=b alors Classique mais beau Codeco14 et en substituant, on trouve k=4 ce qui est vrai.

Maintenant, on suppose que parmi tous les couples Classique mais beau Codeco15 , il existe un couple (A,B) pour lequel la somme A+B est minimale dans S. Supposons aussi que Classique mais beau Codeco16

Considérons l'équation Classique mais beau Codeco17
C'est une équation de second degré dont l'inconnu est x.
On A est la première solution de cette équation. Soit Classique mais beau Codeco18
Par les formules de Viète :
Classique mais beau Codeco19
Et : Classique mais beau Codeco20
Notons que Classique mais beau Codeco21 parce que sinon on aura : Classique mais beau Codeco22 ce qui est clairement faux.
On a : Classique mais beau Codeco23 parce qu'elle équivalente à Classique mais beau Codeco24 ce qui est vrai.
Alors : Classique mais beau Codeco25 ce qui est une contradiction avec le fait que la somme A+B est minimale.
Alors A=B, et ce cas nous mène à k=4.
CQFD.

Remarque :
Les couples qui donnent k=4 sont :
(1;1)
(1;3)
(3;1)
(3;11)
(11;3)
(11;41)
.
.
.
Classique mais beau Codeco26
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