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 Un très joli exercice

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konica
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MessageSujet: Un très joli exercice   Ven 07 Sep 2012, 10:48


Montrer que pour tous les entiers naturels a et b, le nombre n=PPCM(a,b)+PGCD(a,b)-a-b est un entier positif pair.


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BTBICL
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MessageSujet: Re: Un très joli exercice   Ven 07 Sep 2012, 16:07

il faut seulement connaite que si les deux entiers sont de la même parité la valeur (ppcm(a;b)+pgcd(a;b)) est paire et dans le cas contraire elle est impaire c'est facile à monter puis on conclut.
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konica
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MessageSujet: Re: Un très joli exercice   Ven 07 Sep 2012, 17:10

Et comment montrer que n est entier positif?
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BTBICL
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MessageSujet: Re: Un très joli exercice   Ven 07 Sep 2012, 17:54

on pose a=d.M ET b=d.N tel que d=pgcd(a;b) on alors M et N sont der entiers premiers entre eux. ainsi aura-t-on n=d(1+M.N-M-N).
il suffit alors de monter que (1+M.N-M-N)= 1+ M.(N-1)-N est positive ce qui est vérifié puisque 1+1(N-1)-N et positive pour M=1 et pour tout M>1 ; M(N-1)>(N-1).
les cas des couples {(0,b)(a,0)} est traité apart (a+0-0-a=b+0-b-0=0).
ok??????????
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konica
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MessageSujet: Re: Un très joli exercice   Ven 07 Sep 2012, 18:07

Autre approche :

PGCD (a,b) * PPCM (a,b) = ab <==> PPCM = ab/x où x=PGCD(a;b)

Alors n=PPCM(a,b)+PGCD(a,b)-a-b <==> n= ab/x + x -a -b = [(a-x)(b-x)]/x > 0 parque a>x et b>x et x>0.
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