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 Logique

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Heikichi
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MessageSujet: Logique    Mar 16 Oct 2012, 15:24

( Quelque soit x dans N ) sqrt(n² +7n + 12 ) N'appartient pas à l'ensemble N

Démontrez cela grâce à l'absurde .

A vous de jouer :p
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Syba
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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 18:49

On suppose que: √(n² +7n +12) appartient à N.
√(n² +7n +12) appartient à N si et seulement s'il existe un entier positif k, tel que: √(n² +7n +12) = k

Alors, on a:
n² +7n +12 = k²
n² +7n +12 -k² =0
D=49-4(12 -k²)
D=1+4k²
D est un carré parfait. Il existe donc un entier p tel que: p²=D.
Alors:
P²=1+(2k)²
D'ou:
p²=1 et (2k)²=0
D'ou:
p=1 et k=0
Donc:
n² +7n +12 = 0
Or, on a:
n² +7n +12 > 12 pour tous entiers n.
Ce qui est absurde.
Alors:
√(n² +7n +12) n'appartient pas à l'ensemble N.

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Heikichi
Féru


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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 22:52

Pourrait tu développer l'explication ...

Est ce que si l'équation est un carré parfait .... Son delta aussi ?

Si oui ..... Développe s'il te plait la démonstration


Dernière édition par Heikichi le Mar 16 Oct 2012, 23:08, édité 1 fois
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Humber
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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 22:57

C'est simple,
Tout revient au fait qu'il raisonne par l'absurde. Si l'équation admet une solution alors Le Delta est un carré parfait.
Après un peu de travail on trouvera la contradiction


Dernière édition par Humber le Mer 17 Oct 2012, 00:32, édité 1 fois
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Humber
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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 22:57

Heikichi a écrit:
d'où a tu tirer :

D=49-4(12 -k²)

Je ne comprends pas vraiment cette ligne :/

Il a calculé le Delta de cette équation à inconnu : n Wink

Cependant Syba, tu pouvais finir bien plus tôt.
Tu as dis que (2k)²+1=p²
on doit prouver que c'est faux. Eh bien, on sait que n²+1 n'est pas un carré parfait (Simple à démontrer) . Donc (2k)²+1 n'est pas un carré parfait.


Dernière édition par Humber le Mer 17 Oct 2012, 00:35, édité 1 fois
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Heikichi
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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 23:11

Oui mais pourquoi

Le delta doit être un carré parfait ?
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 23:24

Heikichi a écrit:
Oui mais pourquoi

Le delta doit être un carré parfait ?

Parce qu'on a n appartient à IN.
Si delta n'appartient pas à IN alors delta est iirationnel on aura donc n n'appartient pas à IN.
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Heikichi
Féru


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MessageSujet: Re: Logique    Mar 16 Oct 2012, 23:58

D est un carré parfait. Il existe donc un entier p tel que: p²=D.
Alors:
P²=1+(2k)²
D'ou:
p²=1 et (2k)²=0

Pourquoi on conclut que (2k)² = 0 ?
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Logique    Mer 17 Oct 2012, 13:42

Heikichi a écrit:
D est un carré parfait. Il existe donc un entier p tel que: p²=D.
Alors:
P²=1+(2k)²
D'ou:
p²=1 et (2k)²=0

Pourquoi on conclut que (2k)² = 0 ?

On a : p²=1+4k²
Donc p²-4k²=1
D'onc (p-2k)(p+2k)=1

D'où:



D'où la conclusion.
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Logique    Mer 17 Oct 2012, 13:45

Plutot p+2k pas p+4k désolé , faute de frappe.
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Heikichi
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MessageSujet: Re: Logique    Mer 17 Oct 2012, 18:15

ah oui, Ok merci !
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