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 de vasile cirtoage 2005.

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younesmath2012
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MessageSujet: de vasile cirtoage 2005.   Dim 21 Oct 2012, 17:16

a,b,c >=0 tq ab+bc+ca=3 montrer que
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alidos
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Jeu 23 Mai 2013, 18:20

Bonjour Mr Youness math .

par l'inégalité de Schur on a : a^3+b^3+c^3+6abc >= (a+b+c)(ab+bc+ac)

et donc a^3+b^3+c^3 + 7 abc >= 3(a+b+c) +abc

par Schur again on a : abc >= (12-(a+b+c)²)(a+b+c) ) / 9

donc Il suffit de Prouver que : 3(a+b+c) + (12-(a+b+c)²)(a+b+c) ) / 9 >= 10

l'inégalité est équivalente à :

(a+b+c-3) ((4-a-b-c)(7+a+b+c) +2) >= 0

si a+b+c =< 4 l'inégalité est clairement vrai .

si a+b+c >= 4 revenons a notre Inégalité initiale

on a : a^3+b^3+c^3 + 7abc >= 10

équivalent à : (a+b+c)^3-9(a+b+c)+10abc >= 10

ce qui est juste car (a+b+c)^3-9(a+b+c)-10 >= 7(a+b+c) -10 > 0

et d'ou la conclusion .











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alidos
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Jeu 23 Mai 2013, 18:30

Je te Propose deux Inégalités Intéréssantes Very Happy

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Ven 24 Mai 2013, 22:44

J'ai beau cherché un truc beau, mais apparemment on revient toujours aux méthodes killers passe-presque-partout, à savoir la méthode uvw.

Pour 2) par exemple on obtient un équivalent du genre :

6v^2*((9u^2-6v^2)+9v^2-6uw^3)-45(9u^2v^4-6v^6-6u^3w^3+4uv^2w^3)+5w^6>=0

faut chercher un inconnu présentant une certaine convexité et puis on creuse sa piste....

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alidos
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Ven 24 Mai 2013, 23:19

Mr Radouane_BNE je t'assure l'inégalité n'est pas facile , elle est un peu puissante qu'a celle d'IRAN 96 , cas d'égalité (1,1,0) avec permutations Smile


Dernière édition par alidos le Sam 25 Mai 2013, 00:08, édité 1 fois
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Ven 24 Mai 2013, 23:50

Je n'ai pas dit qu'elle est triviale, j'ai juste dit que probablement ça nécessite des armes calculatoires lourdes...sinon il est temps d'arrêter l'utilisation de ''Mr'',on est tous ici des jeunes cool Wink

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alidos
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Sam 25 Mai 2013, 00:04

radouane_BNE a écrit:
Je n'ai pas dit qu'elle est triviale, j'ai juste dit que probablement ça nécessite des armes calculatoires lourdes

...sinon il est temps d'arrêter l'utilisation de ''Mr'',on est tous ici des jeunes cool Wink

Laughing
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Sam 25 Mai 2013, 00:35

Alors on a :


est équivalente à :


Après développement on obtiendra :


Par AM-GM on prouvera que :


We are done. Ceci prouve que l'inégalité peut être améliorée.

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Sam 25 Mai 2013, 02:05

Pour la première.

Je montre un truc plus strict :





L'inégalité en question découle facilement de celle-ci.

qui est équivalent à :


Encore une fois on fait appel à AM-GM :


et :


et :



CQFD.

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alidos
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Dim 26 Mai 2013, 16:42

radouane_BNE a écrit:
Alors on a :


est équivalente à :


Après développement on obtiendra :


Par AM-GM on prouvera que :


We are done. Ceci prouve que l'inégalité peut être améliorée.


Chapeau Pour ta patience Radouane Very Happy a voir ce lemme :

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Dim 26 Mai 2013, 21:50

Je pense que 9/2 une mieux que 5/2, si tu as un peu du temps, essaie avec ton lemme cette constante.

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Humber
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   Dim 26 Mai 2013, 21:59

alidos a écrit:

a voir ce lemme :


Il ne faut pas oublier qu'il faut supposer que x>=y>=z pour utiliser ce lemme !
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MessageSujet: Re: de vasile cirtoage 2005.   

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