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 Jolie

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Oty
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MessageSujet: Jolie    Jolie  EmptyLun 29 Oct 2012, 14:34

Trouver la valeur max de M pour laquelle l'inégalité suivante est vrai :
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pour tout réel positif a,b,c vérifiant : a+b+c=4 .
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyLun 29 Oct 2012, 19:13

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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyLun 29 Oct 2012, 22:52

Il faut montrer que l'inégalité est vrai pour cette valeur Mr Younes .
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 08:52

bien sur j'ai essayé avec schur ça pas marché je vais reflechir autrement quand j'aurais le temps de reflechir!!!
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Geo
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 16:13

Ma solution:
D'après schur : a²+b²+c² +3abc >= a²+b²+c² +9abc/4 >=2 (ab+bc+ca) ==> M>=2
Pour a=0,b=c=2 : M<=2 ==> M=2.
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Humber
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 16:37

Mr Geo , L'inégalité n'est pas vraie pour M=7/3 ?
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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 20:22

oui Geo Bravo Smile .
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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 20:33

On va changé un peu ce problème :
avec les même conditions : (a+b+c=4 et a,b,c>=0)
trouver kmin pour laquelle l'inégalité suivante est vrai :

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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 20:38

Oty a écrit:
On va changé un peu ce problème :
avec les même conditions : (a+b+c=4 et a,b,c>=0)
trouver kmin pour laquelle l'inégalité suivante est vrai :

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excuser moi Mr ''oty'' mais il faut d'abord montrer l'exercice precedent !!!
et si quelqu'un trouvera la solution on passe au suivant !!!
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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 20:47

Mr Younes , Geo a trouver la bonne Réponse Smile
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Humber
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 20:58

Jolie  Gif.latex?\small%20\text{Voil%C3%A0%20ma%20solution%20Quand%20}%20M=\frac{7}{3}%20\\%20\\%20\text{L'in%C3%A9galit%C3%A9%20est%20donc%20%C3%A9quivalente%20%C3%A0%20:}%20\\48%20+%209abc\geq%2013(ab+bc+ac)%20\\%20\Leftrightarrow%2064+9abc%20\geq%2016(ab+bc+ac)%20~~(\text{Car%20}(a+b+c)^2%20\geq%203(ab+bc+ac))%20\\%20\text{Il%20suffit%20donc%20de%20d%C3%A9montrer%20ce%20dernier%20r%C3%A9sultat.


Dernière édition par Humber le Mar 30 Oct 2012, 21:05, édité 1 fois
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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 21:02

Linégalité est fausse Pour 7\3 !!!
a=0 , b=c=2
LHS = 8
RHS= 28\3 > LHS !!
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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 21:09

Humber a écrit:
Jolie  Gif.latex?\small%20\text{Voil%C3%A0%20ma%20solution%20Quand%20}%20M=\frac{7}{3}%20\\%20\\%20\text{L'in%C3%A9galit%C3%A9%20est%20donc%20%C3%A9quivalente%20%C3%A0%20:}%20\\48%20+%209abc\geq%2013(ab+bc+ac)%20\\%20\Leftrightarrow%2064+9abc%20\geq%2016(ab+bc+ac)%20~~(\text{Car%20}(a+b+c)^2%20\geq%203(ab+bc+ac))%20\\%20\text{Il%20suffit%20donc%20de%20d%C3%A9montrer%20ce%20dernier%20r%C3%A9sultat.

IL n'y as pas d'equivalence de la premier ligne a la 2eme .....
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Humber
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 21:16

Oty a écrit:
Humber a écrit:
Jolie  Gif.latex?\small%20\text{Voil%C3%A0%20ma%20solution%20Quand%20}%20M=\frac{7}{3}%20\\%20\\%20\text{L'in%C3%A9galit%C3%A9%20est%20donc%20%C3%A9quivalente%20%C3%A0%20:}%20\\48%20+%209abc\geq%2013(ab+bc+ac)%20\\%20\Leftrightarrow%2064+9abc%20\geq%2016(ab+bc+ac)%20~~(\text{Car%20}(a+b+c)^2%20\geq%203(ab+bc+ac))%20\\%20\text{Il%20suffit%20donc%20de%20d%C3%A9montrer%20ce%20dernier%20r%C3%A9sultat.

IL n'y as pas d'equivalence de la premier ligne a la 2eme .....

Bien Joué Wink
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bel_jad5
Modérateur


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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 21:55

quelqu'un peut confirmer les calculs:

posons f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2+3abc-2(ab+bc+ac)
sans perte de généralité, on peut supposer que b=max(a,b,c) alors b>=4/3

f(a,b,c)-f(a+c,b,0) = 3ac(b-4/3)>=0
donc f(a,b,c)>=f(a+c,b,0)=(a+c-b)^2>=0
donc 2 est la meilleure constante puisque pour a=b=2 et c=0 on a f(a,b,c) = 0

CQFD.

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Oty
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptyMar 30 Oct 2012, 22:15

Nice Mr . bel_jad5 Bravo Smile
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Thelastmetalsong9
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MessageSujet: Re: Jolie    Jolie  EmptySam 10 Nov 2012, 21:57

Geo a écrit:
Ma solution:
D'après schur : a²+b²+c² +3abc >= a²+b²+c² +9abc/4 >=2 (ab+bc+ca) ==> M>=2
Pour a=0,b=c=2 : M<=2 ==> M=2.
on pourrait démontrer sans schur?
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