Je prends les normes infinies.
Pour epsilon = 1/2, on peut dire qu'il existe un N entier tel que pour n > N, ||P_n-f|| < 1/2
Alors ||Pp - Pq|| = ||Pp-f+f-Pq|| < ||Pp-f||+||Pq-f|| < 1/2 + 1/2 = 1 pour p et q assez grand.
Donc ||Pp-Pq|| < 1
Or seules les fonctions polynomiales constantes sont bornée sur R donc on en déduit que Pp(t)-Pq(t) = a_(p,q) où a_(p,q) dans R
D'où le résultat.
En généralisant, on a aussi P_n(t)-PN(t) = a_n pour n > N
D'où P_n(0)-PN(0)=a_n et donc en prenant la limite en l'infini, on obtient :
f(0)-PN(0)=a_(+oo) et on conclut avec l'unicité de la limite pour écrire que : f(t)=PN(t)+a_(+oo)
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