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 Applications de l'inégalité de Karamata

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bel_jad5
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MessageSujet: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyVen 02 Nov 2012, 22:23

Ce lien est réservé à l'inégalité de Karamata, elle est facile à comprendre et terriblement efficace. Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

http://en.wikipedia.org/wiki/Karamata%27s_inequality

Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:

1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c) <= 1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)


Dernière édition par bel_jad5 le Ven 02 Nov 2012, 22:39, édité 1 fois
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Oty
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyVen 02 Nov 2012, 22:35

qu'est ce que l'inégalité Karamata ? Merci beaucoup ,
sinon pour cette inégalité voici ma solution :
Par C-S :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
il suffit de sommer cycliquement
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyVen 02 Nov 2012, 22:40

J'ai ajouté le lien vers l'inégalité.

Ta solution est bonne mais elle ne répond pas aux contraintes de l'exercice Smile
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 21:39

Pour ceux qui ne la connaissent pas, essayez d apprendre cette technique aussi! cheers
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boubou math
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 22:27

Solution
par symétrie ,supposons que
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
on ainsi :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
ainsi (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas Very Happy.
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .


Dernière édition par boubou math le Dim 04 Nov 2012, 10:29, édité 1 fois
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 22:40

Solution juste. Je propose un nouveau exercice alors.

Inegalite 2: IMO 2000

Soient a,b,c des reels positifs tels que: abc = 1.
Montrer que: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1

Indication:
1) d abord eliminer la contrainte abc=1 en introduisant de nouvelles variables x,y,z...
2) consider la fonction -ln(x) (attention au cas ou x<0 )

...


Dernière édition par bel_jad5 le Sam 03 Nov 2012, 23:58, édité 1 fois
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Oty
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 22:56

Mr Bel_Jad , je crois que c'est a vous qu'on doit remettre la responsabilité de la préparation des equipes marocaine , vraiment tbarkellah 3like , vous avez une expérience au IMO et vous avez partagez vos connaissances BRAVO !
Ps : je pense que cette Karamata est interdite au IMO ,
sinon il faut la prouver avant de l'utiliser ce qui est vraiment tres difficile et pas efficace .
je crois que seul les inégalités de BASES comme C-S , AM-GM , chebychev .... qui sont permis . Merci .
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Syba
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:24

On pose: a=x/y , b=y/z , c=z/x (x,y,z strictement positifs)
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1
<=>(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=xyz
On suppose que: x<=y<=z
x>(x+y-z)
x+y>(x+y-z)+(z+x-y)
x+y+z=(x+y-z)+(z+x-y)+(z+y-x)
On considère la fonction f(x)=-ln(x) qui est convexe biensur.
f(x)+f(y)+f(z)<=f(x+y+z)+f(z+x-y)+f(z+y-x)
Le résultat en découle.
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:45

Il y a une petite erreur "non triviale" dans ton raisonnement. Tu as utilisé la fonction -ln(x) alors il faut que x soit strictement positif.

Donc tu fais une étude de cas: x+y-z<=0 alors il n y a rien à montrer puisque
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)<=0<=xyz

x+y-z>0 alors là tu utilises Karamata.

Mais généralement, très bonne solution cheers
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:45

Oty: merci pour le compliment Embarassed
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:47

Oty a écrit:
Mr Bel_Jad , je crois que c'est a vous qu'on doit remettre la responsabilité de la préparation des equipes marocaine , vraiment tbarkellah 3like , vous avez une expérience au IMO et vous avez partagez vos connaissances BRAVO !
Ps : je pense que cette Karamata est interdite au IMO ,
sinon il faut la prouver avant de l'utiliser ce qui est vraiment tres difficile et pas efficace .
je crois que seul les inégalités de BASES comme C-S , AM-GM , chebychev .... qui sont permis . Merci .

T'es sur Othmane :O si oui j'aimerais Bien que tu me passe une source
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:48

Ah merci pour la remarque, j'ai pas fait attention ^^
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptySam 03 Nov 2012, 23:57

Inégalité 3: Asian Pacific Olympid 1996

Soient a,b,c les côtés d'un triangle. montrer que:
rac(a+b-c)+rac(b+c-a)+rac(c+a-b)<=rac(a)+rac(b)+rac(c)
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 00:00

alidos a écrit:

T'es sur Othmane :O si oui j'aimerais Bien que tu me passe une source

je tiens cette information d'un ami sur AOPS , aussi si c'est methode etait permise alors elles seraient étudier dans Les stages , or ce n'est pas le cas .
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 00:08

On suppose que: a>=b>=c (a,b,c tous strictement positifs)
Alors:
(a+b-c)>=a
(a+b-c)+(a+c-b)>=a+b
(a+b-c)+(a+c-b)+(b+c-a)=(a+b+c)
On considère la fonction f(x)=rac(x) définie sur R+, qui est concave biensur sur R*+.
Donc on a:
rac(a+b-c)+rac(a+c-b)+rac(b+c-a)<=rac(a)+rac(b)+rac(c)
(Le cas d'égalité si: a=b=c)
D'ou le résultat.
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 00:16

Jolie. Je vois que tu as maitrisé la technique cheers
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 00:19

Un peu oui ^^
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 00:21

Inégalité 4:

Soient a(1), a(2), a(3),...,a(2n+1) des réels strictement positifs tels que a(1)>=a(2)>= a(3)>=...>=a(2n+1)>= 0. Et soit f une fonction convexe de [0,a(1)] vers R. montrer que:
f(a(1)-a(2)+a(3)-...+a(2n+1))<=f(a(1))-f(a(2))+f(a(3))-.....+f(a(2n+1))
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 10:26

boubou math a écrit:
Solution
par symétrie ,supposons que
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on ainsi :
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ainsi (a,b,c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas Very Happy.
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .
on doit ecrire (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)
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boubou math
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 10:29

younesmath2012 a écrit:
boubou math a écrit:
Solution
par symétrie ,supposons que
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
on ainsi :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
ainsi (a,b,c) majore (a+b,b+c,a+c)
En tenant compte du fait que la fonction f(x)=1/x est convexe ,et on utilisant l'inégalité de karamata ,on obtient :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif
j'avais déjà entendu parler de cette inégalité mais à vrai dire je ne la connaissais pas Very Happy.
la méthode de oty reste la meilleure à mon avis vue la simplicité ,j'aimerais bien trouver un exemple dans le quel cette inégalité devient indispensable .
on doit ecrire (2a,2b,2c) majore (a+b,b+c,a+c)
oué faute d'inattention .
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 11:23

bel_jad5 a écrit:
Inégalité 4:

Soient a(1), a(2), a(3),...,a(2n+1) des réels strictement positifs tels que a(1)>=a(2)>= a(3)>=...>=a(2n+1)>= 0. Et soit f une fonction convexe de [0,a(1)] vers R. montrer que:
f(a(1)-a(2)+a(3)-...+a(2n+1))<=f(a(1))-f(a(2))+f(a(3))-.....+f(a(2n+1))

Applications de l'inégalité de Karamata  Gif.latex?je~~crois~~qu'il~~faut~~ajouter~~plus~~d'ennonc%C3%A9~~pour~~qu'~~on~~aille~~:\fbox{la~~suite\left%20(%20a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+a_{2n+1};a_{2};a_{4};...;a_{2n}%20\right%20)~~majore~~la~~suite~~\left%20(%20a_{1};a_{3};a_{5};..
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 20:34

qu'est ce que vous disez Mr"bel_jad5" ?
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 22:04

Tu veux dire l inverse ?
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 22:36

non , mais il manque un peu d'ennoncé pour demmarer avec Karamata !!!
et je suis sur qu'on va utiliser ce que j'ai ecrit :
Applications de l'inégalité de Karamata  Gif.latex?je~~crois~~qu'il~~faut~~ajouter~~plus~~d'ennonc%C3%A9~~pour~~qu'~~on~~aille~~:\fbox{la~~suite\left%20(%20a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+a_{2n+1};a_{2};a_{4};...;a_{2n}%20\right%20)~~majore~~la~~suite~~\left%20(%20a_{1};a_{3};a_{5};..
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  EmptyDim 04 Nov 2012, 22:54

peux tu rédiger ton raisonnement proprement ?
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Karamata    Applications de l'inégalité de Karamata  Empty

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