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 Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)

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bel_jad5
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MessageSujet: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptyVen 02 Nov 2012, 22:59

Ce lien est réservé à l'inégalité de Jensen (convexité). Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen

Inégalité 1:
Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:

a²/(a+b)+b²/(b+c)+c²/(c+a)>=(a+b+c)/2

à vous de jouer cheers


Dernière édition par bel_jad5 le Sam 03 Nov 2012, 13:00, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 11:46

bel_jad5 a écrit:
Ce lien est réservé à l'inégalité de Jensen (convexité). Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.
http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen
Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:
a²/(a+b)+b²/(b+c)+c²/(c+a)>=(a+b+c)/2
à vous de jouer cheers
Voici ce que j'ai fait:
L'inégalité s'écrit: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif, où Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Où: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif, Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif et Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Donc la deuxième dérivée de la fonction f est strictement positive sur l'intervalle [Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif[, f est donc convexe.
On applique l'inégalité de la convexité:
On aura: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?\sum_{cyc}\frac{a}{a+b+c}.f(\frac{b}{a})\ge f(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b+c}.
Ce qui met fin à la démonstration.
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 11:58

L'inégalité 2:
Soit Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif, Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif et Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif des réels strictement positifs vérifiant l'identité Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Montrez que: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Bonne chance.
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:00

NMO: Jolie demonstration cheers
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:27

bel_jad5 a écrit:
Ce lien est réservé à l'inégalité de Jensen (convexité). Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen

Inégalité 1:
Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs. montrer que:

a²/(a+b)+b²/(b+c)+c²/(c+a)>=(a+b+c)/2

à vous de jouer cheers

Caushy Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:37

Salam Amine,

Jolie demonstration aussi mais le but de ces liens est de pratiquer les techniques d olympiades. Donc, a la place de resoudre des exercices de facons aleatoires, je prefere qu on se focalise sur les techniques. Ta demonstration est bonne mais elle n est adaptee a ce lien.

Essayes de resoudre l exercice de "nmo" en utilisant la convexite... Smile


Dernière édition par bel_jad5 le Sam 03 Nov 2012, 13:38, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:37

nmo a écrit:
L'inégalité 2:
Soit Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif, Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif et Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif des réels strictement positifs vérifiant l'identité Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Montrez que: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.
Bonne chance.

j'ai une solution mais pas avec Jensen :
on pose Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif on a Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif avec Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
et puisque : Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
donc Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:39

Essayes de le faire avec Jensen. C est le BUT cheers

Si tu arrives pas, voila une petite indication: la fonction "Racine" est concave ...
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:41

oui je sais
voici la 2eme méthode :
Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
on pose Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif donc Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
=> f est concave
apr jensen Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif


Dernière édition par abdelkrim-amine le Sam 03 Nov 2012, 13:57, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:53

Je donne une solution detaillee qui aidera les autres a comprendre la technique.

1) on voit que l inegalite s ecrit comme w*Racine(y) donc on a envie de considerer la fonction racine et w comme poids.

2) si les coefficients n ont pas une somme egale a 1 alors il suffit de les diviser par leur somme. Ici dans l exercice, on a pas besoin de faire ca puisque a+b+c = 1

3) la fonction racine est concave alors l inegalite est de le sens oppose, c a d:
af(b)+bf(c)+cf(a)<=f(a*b+b*c+c*a)

4) on developpe:
a*racine(b)+b*racine(c)+c*racine(a)<=racine(ab+bc+ac)<=racine((a+b+c)^2/3) = racine(3)/3

Voila.
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 13:57

Inegalite 3

Soient a,b,c des reels strictement positifs tels que a+b+c = 1. Montrer que:

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3


cheers


Dernière édition par bel_jad5 le Sam 03 Nov 2012, 14:10, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 14:05

bel_jad5 a écrit:
Inegalite 3

Soient a,b,c des reels strictement positifs tels que a+b+c = 1. Montrer que:

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3

cheers

Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif41
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 14:10

Jolie. A toi de poster L inegalite 4
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 15:11

ok
inegalite 4 : (tres facile)
a,b,c>0 a,b,c # 1 et abc=1 M.Q : a^2\(a-1)^2 +b^2\(b-1)^2 +c^2\(c-1)^2>=3


Dernière édition par abdelkrim-amine le Sam 03 Nov 2012, 19:45, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 16:08

prends a=b=c=1, ca donne: 3/4 > 1 ....
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 16:26

abdelkrim-amine a écrit:
ok
inegalite 4 : (tres facile)
a,b,c>0 et abc=1 M.Q : a^2\(a+1)^2 +b^2\(b+1)^2 +c^2\(c+1)^2>=1
fausse inegalité Mr "abdelkrim-amine" (prend a=b=c=1)
donner donc une autre vraie inegalité !!!
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 16:38

Syba a écrit:
prends a=b=c=1, ca donne: 3/4 > 1 ....
editer
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 16:39

younesmath2012 a écrit:
abdelkrim-amine a écrit:
ok
inegalite 4 : (tres facile)
a,b,c>0 et abc=1 M.Q : a^2\(a+1)^2 +b^2\(b+1)^2 +c^2\(c+1)^2>=1
fausse inegalité Mr "abdelkrim-amine" (prend a=b=c=1)
donner donc une autre vraie inegalité !!!
editer
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 19:16

abdelkrim-amine a écrit:
ok
inegalite 4 : (tres facile)
a,b,c>0 a,b,c # 1 et abc=1 M.Q : a^2\(a-1)^2 +b^2\(b-1)^2 +c^2\(c-1)^2>=1
Le début de la solution a l'air d'être ainsi:
On considère la fonction f définie par: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif sur Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif .
On a donc Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?f'(x)=2\bigg(\frac{x}{x-1}\bigg) et Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?f''(x)=-2\times\frac{(x-1)^3-3x(x-1)^2}{(x-1)^6}=-2.
La dérivée seconde est strictement positive, f est donc convexe.
L'inégalité de la convexité nous donne alors: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?\sum_{cyc}\frac{1}{3}.f(a)\ge f(\sum_{cyc}\frac{1}{3}.
Ce qui se traduit par: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.

Spoiler:
 
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 19:50

Je propose alors:
L'inégalité 5:
Soient Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif des réels de l'intervalle [0,1[.
Démontrez que: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k.\sqrt{1-x_k^2}\bigg)^2\le\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k\bigg)^2.\Bigg(1-\bigg(\frac{1}{n}.
Bonne chance.
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 19:52

nmo a écrit:
abdelkrim-amine a écrit:
ok
inegalite 4 : (tres facile)
a,b,c>0 a,b,c # 1 et abc=1 M.Q : a^2\(a-1)^2 +b^2\(b-1)^2 +c^2\(c-1)^2>=1
Le début de la solution a l'air d'être ainsi:
On considère la fonction f définie par: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif sur Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif .
On a donc Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?f'(x)=2\bigg(\frac{x}{x-1}\bigg) et Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?f''(x)=-2\times\frac{(x-1)^3-3x(x-1)^2}{(x-1)^6}=-2.
La dérivée seconde est strictement positive, f est donc convexe.
L'inégalité de la convexité nous donne alors: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?\sum_{cyc}\frac{1}{3}.f(a)\ge f(\sum_{cyc}\frac{1}{3}.
Ce qui se traduit par: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.

Spoiler:
 
c'est ma faute Mad j'ai edite l'exo
en tous cas votre solution est vrai, a toi de poster une autre inego.
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 20:44

nmo a écrit:
Je propose alors:
L'inégalité 5:
Soient Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif des réels de l'intervalle [0,1[.
Démontrez que: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif.latex?\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k.\sqrt{1-x_k^2}\bigg)^2\le\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k\bigg)^2.\Bigg(1-\bigg(\frac{1}{n}.
Bonne chance.
Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
on peut mettre les deux cotes aux carre


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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 21:14

J aimerais preiciser quelques points:

1) ca serait bien de poser de "belles inegalites". Il y en a beaucoup, il suffit de chercher un peu sur internet.
2) verifier d abord que l exercice est juste, et que la solution est interessante.
3) verifier aussi la solution que vous proposez. Par exemple: x*racine(1-x) n est pas la bonne fonction.
3) ecrire la derivee et de bien verifier qu elle convexe/concave.

Je me permets alors de proposer inegalite 6:

Inegalite 6: IMO 2001
Soient a, b, c des reels strictement positifs, montrer que:
a/racine(a^2+8bc)+b/racine(b^2+8ac)+c/racine(c^2+8ab)>=1


Dernière édition par bel_jad5 le Dim 04 Nov 2012, 00:37, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 22:14

Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif

donc l'inegalite a demontrer est : Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif

On considère la fonction f définie par: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif
Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif donc Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif

selon Jensen Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif

donc il suffit de démontrer que : Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Gif c'est faut
j'ai débloqué ici

P.S : je ne pense pas que cette inégo doit résoudre avec Jensen
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  EmptySam 03 Nov 2012, 22:20

la fonction est bonne mais les poids ne sont pas bons! essayes d abord de rendre a+b+c = 1 et utilises les comme poids...

C est un IMO, il doit pas etre trivail mais tu es sur la bonne voie Wink
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MessageSujet: Re: Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)    Applications de l'inégalité de Jensen(Convexité)  Empty

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