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 Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM

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bel_jad5
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MessageSujet: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 02 Nov 2012, 23:10

Ce lien est réservé à l'inégalité de la moyenne AM-GM. Celui qui résout l'exercice devra proposer un nouveau dans cette page et ainsi de suite.

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique

Je commence: soient a,b,c des réels strictement positifs tels que abc = 1 . montrer que:

(ab+1)/(a+a²)+(bc+1)/(b+b²)+(ca+1)/(c+c²)>=3

à vous de jouer
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 02 Nov 2012, 23:47

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?on~~a~~:\frac{ab+1}{a+a^2}=\frac{ab(1+c)}{a(1+a)}~,~\frac{bc+1}{b+b^2}=\frac{bc(1+a)}{b(1+b)}~,~\frac{ca+1}{c+c^2}=\frac{ca(1+b)}{c(1+c)}\\\\donc~~\frac{ab+1}{a+a^2}+\frac{bc+1}{b+b^2}+\frac{ca+1}{c+c^2}\geq%203%20\sqrt[3]{\frac{ab+1}{a+a^2}\times\frac{bc+1}{b+b^2}\times\frac{ca+1}{c+c^2}}=3%20\sqrt[3]{\frac{ab(1+c)}{a(1+a)}\times\frac{bc(1+a)}{b(1+b)}\times\frac{ca(1+b)}{c(1+c)}%20}=3~~~~\blacksquare[/img]
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 02 Nov 2012, 23:57

je propose l'exercice suivant :
Inégalité2:

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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 01:02

Allez les gars!!! quelqu un nous débarasse de celle là!!! bom
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Oty
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 01:44

younesmath2012 a écrit:
je propose l'exercice suivant :
Inégalité2:


on a deja résolue cette inégalité sur ce forum avec AM-GM , mais j'arrive pas a retrouver le lien , bon voici une autre solution différente que celle que j'avais proposé :
on pose : abc=t^3 d'ou il existe x,y,z tel que :
a=tx\y b=ty\z , c=tz\x. l'inégalité est equivalente a :

maintenant avec C-S :

car par AM-GM : (xy+yz+zx)² >= 3xyz(x+y+z) .
ainsi il suffit de prouver :

d'ou le resultat Smile .
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 11:32

la9ta 3ajiba min la9atate Mr ''oty'' Bravo jolie reponse !!!
la balle a vous de choisir l'inegalité 3.
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Oty
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 15:54

Merci Mr Younes , je propose celle si : (simple et faisable )
soit a,b,c ,d,e >= 0 , tel que : a+b+c+d+e=5
Montrer que :
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sadaso
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 18:55

Un lien pour les inégalités utilisées ?
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Dim 04 Nov 2012, 19:34

Il y a une rubrique "théorèmes et formules" sur le site...le premier lien est bien pour commencer!
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galois einstein
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MessageSujet: solution   Mer 21 Nov 2012, 02:40

Oty a écrit:
Merci Mr Younes , je propose celle si : (simple et faisable )
soit a,b,c ,d,e >= 0 , tel que : a+b+c+d+e=5
Montrer que :

Salut, je me tiens à proposer une solution pour l'exo de Oty:

D'après AM-GM on a:

(a+b+c)/3 >= 3v(abc) , et (b+c+d)/3 >= 3v(bcd) , et c'est la meme chose pour les autres.

en sommant , on va obtenir:

a+b+c+d+e=5 >= 3v(abc) +3v(bcd) +3v(cde) +3v(dea) +3v(eab) >= abc+bcd+cde+dea+eab

(parce que a,b,c,d,e =< 1)

je désigne par 3v(X), la racine cubique de X
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galois einstein
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 21 Nov 2012, 02:46

je propose l'exercice suivant:

soient a_2 , a_3 ,..., a_n des réels strictement positifs, tels que:

a_2 *a_3* ...* a_n =1 . montrer que:

(a_2 +1)^2 (a_3 +1)^3 ... (a_n +1)^n > n^n ;

avec n >= 3 un entier naturel
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 21 Nov 2012, 09:22

galois einstein a écrit:
je propose l'exercice suivant:

soient a_2 , a_3 ,..., a_n des réels strictement positifs, tels que:

a_2 *a_3* ...* a_n =1 . montrer que:

(a_2 +1)^2 (a_3 +1)^3 ... (a_n +1)^n > n^n ;

avec n >= 3 un entier naturel

prob de l'IMO 2012



n'a pas d'égalité car donc

finalement
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galois einstein
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 21 Nov 2012, 13:24

abdelkrim-amine a écrit:
galois einstein a écrit:
je propose l'exercice suivant:

soient a_2 , a_3 ,..., a_n des réels strictement positifs, tels que:

a_2 *a_3* ...* a_n =1 . montrer que:

(a_2 +1)^2 (a_3 +1)^3 ... (a_n +1)^n > n^n ;

avec n >= 3 un entier naturel

prob de l'IMO 2012



n'a pas d'égalité car donc

finalement

Ton exercice ??
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 21 Nov 2012, 14:11

galois einstein a écrit:
Oty a écrit:
Merci Mr Younes , je propose celle si : (simple et faisable )
soit a,b,c ,d,e >= 0 , tel que : a+b+c+d+e=5
Montrer que :

Salut, je me tiens à proposer une solution pour l'exo de Oty:

D'après AM-GM on a:

(a+b+c)/3 >= 3v(abc) , et (b+c+d)/3 >= 3v(bcd) , et c'est la meme chose pour les autres.

en sommant , on va obtenir:

a+b+c+d+e=5 >= 3v(abc) +3v(bcd) +3v(cde) +3v(dea) +3v(eab) >= abc+bcd+cde+dea+eab

(parce que a,b,c,d,e =< 1)

je désigne par 3v(X), la racine cubique de X

votre solution est fausse...
parce que si a,b,c,d,e =< 1 et a+b+c+d+e=5 donc a=b=c=d=e=1

contre exemple a=3/2 , b=1/2 ,c=1 ,d=2/3 , e=4/3
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 21 Nov 2012, 14:26

exercice ..

Soit a , b , Et c nombres réels positifs. Montrer que



bonne chance Wink
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galois einstein
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MessageSujet: re    Ven 23 Nov 2012, 00:27

abdelkrim-amine a écrit:
galois einstein a écrit:
Oty a écrit:
Merci Mr Younes , je propose celle si : (simple et faisable )
soit a,b,c ,d,e >= 0 , tel que : a+b+c+d+e=5
Montrer que :

Salut, je me tiens à proposer une solution pour l'exo de Oty:

D'après AM-GM on a:

(a+b+c)/3 >= 3v(abc) , et (b+c+d)/3 >= 3v(bcd) , et c'est la meme chose pour les autres.

en sommant , on va obtenir:

a+b+c+d+e=5 >= 3v(abc) +3v(bcd) +3v(cde) +3v(dea) +3v(eab) >= abc+bcd+cde+dea+eab

(parce que a,b,c,d,e =< 1)

je désigne par 3v(X), la racine cubique de X

votre solution est fausse...
parce que si a,b,c,d,e =< 1 et a+b+c+d+e=5 donc a=b=c=d=e=1

contre exemple a=3/2 , b=1/2 ,c=1 ,d=2/3 , e=4/3

Merci, j'ai pas fait attention :p
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Mer 16 Jan 2013, 19:14

http://www.codecogs.com/components/eqneditor/editor.php
pour retourner a la ligne \\ et espace \
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nmo
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 00:38

Oty a écrit:
Merci Mr Younes , je propose celle si : (simple et faisable )
soit a,b,c ,d,e >= 0 , tel que : a+b+c+d+e=5
Montrer que :
Elle n'est plus facile mon cher; voyons ici: http://en.wikipedia.org/wiki/Maclaurin%27s_inequality.
Je crois qu'elle se résout par cette dernière inégalité et non plus par l'inégalité arithmético-géométrique.
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 11:58

sans perte de generalité on peut supposer par exemple e= min(a;b;c;d;e) donc 0<=e<=1

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Humber
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 12:14

younesmath2012 a écrit:
sans perte de generalité on peut supposer par exemple e= min(a;b;c;d;e) donc 0<=e<=1


Joliie cheers

Pourrais-tu poster une nouvelle inégo ?
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 18:23

oui avec plaisir MR ''Humber''

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Humber
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 19:30



C'est vrai car :
-la fonction f(x)= -2sqrt(-2x^2-x+1)-x+2 est strictement croissante sur [0,1/2] et donc f(x) <= f(1/2)=3/2
-D'après AM-GM y <= 1/27 <= (3/2)/9 = 1/6

Notons aussi que (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac) ==> ab+bc+ac=x <= 1/2


Dernière édition par Humber le Sam 26 Jan 2013, 00:05, édité 6 fois
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Ven 25 Jan 2013, 21:10

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Humber
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Sam 26 Jan 2013, 00:06

younesmath2012 a écrit:

Merci pour votre vigilance Smile , J'ai modifié la solution
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   Sam 26 Jan 2013, 09:25

abdelkrim-amine a écrit:
exercice ..

Soit a , b , Et c nombres réels positifs. Montrer que



bonne chance Wink
voici une reponse mais avec holder:

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MessageSujet: Re: Applications de Inégalité arithmético-géométrique AM-GM   

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