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 Probleme novembre 2012

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AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Probleme novembre 2012    Probleme novembre 2012  EmptyJeu 08 Nov 2012, 11:02

Soit A une partie non vide de R telle que pour tout x dans R il existe un unique y dans A vérifiant
d(x,A)=|x-y|. Montrer que A est intervalle fermé
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Probleme novembre 2012    Probleme novembre 2012  EmptyDim 13 Jan 2013, 10:50

Soit B l'adhérence de A. On a toujours A C B
Soit x dans B ==> d(x,B)=d(x,A)=0=|x-y| pour un certain y dans A ==> x=y ==> x dans A
Donc A=B càd A est fermé
Soient x et y dans A avec y> x.
Soit z dans ]x,y[
si z n'est pas dans A, comme A fermé, il existe r >0 :]z-r,z+r[C]x,y[ et disjoint avec A
Soit ]a,b[ le plus grand intervalle contenant z et disjoint avec A
alors a et b sont dans A
d((a+b)/2,A)=(b-a)/2 = |(a+b)/2-a|=|(a+b)/2-b| ce qui est contraire à l'hypothèse
Donc z dans A par suite [x,y]CA càd A est intervalle

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