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 imo schirt liste 87

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01111111(?)
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MessageSujet: imo schirt liste 87   Jeu 04 Jan 2007, 16:45

Prove that if the equation , $x^{4}+ax^{3}+bx+c=0$
has all its roots real,then $ab\leq0$.
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: imo schirt liste 87   Jeu 04 Jan 2007, 18:05

D'aprés Rolle il existe u,v,w racines réelles de 4x^3+3ax²+b
4(x-u)(x-v)(x-w)=4x^3+3ax²+b
==> b=-4uvw et 3a=-4(u+v+w)
==>3ab=16uvw(u+v+w)=<0

_________________
وقل ربي زد ني علما
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naïl
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MessageSujet: Re: imo schirt liste 87   Lun 18 Juin 2018, 17:17

Le polynôme x^4+ ax^3+ bx+ c = 0 a quatre racines lesquelles ne sont pas nécessairement racines de la dérivée d(x^4 +ax^3+ bx+ c)/ dx = 0. Par conséquent, la factorisation avec les racines concerne le polynôme lui-même, ce qui équivaut à:
[center]a = -(la somme des racines) [\center]
[center]la somme des bi produits de racines = 0[\center]
[center]b = -(somme des tri produits de racines) [\center]
[center]le produit de racines = c[\center]
Est-ce-qu'alors pour tous réels t, u, v et w tels que vw+ wt+ tu+ uv = 0 : (t+ u+ v+ w)(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) <= 0 ?
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naïl
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MessageSujet: modification   Mar 19 Juin 2018, 10:51

naïl a écrit:
Le polynôme  x^4+ ax^3+ bx+ c = 0 a quatre racines lesquelles ne sont pas nécessairement racines de la dérivée d(x^4 +ax^3+ bx+ c)/ dx = 0. Par conséquent, la factorisation avec les racines concerne le polynôme lui-même, ce qui équivaut à:
a = -(la somme des racines)
la somme des bi produits de racines = 0
b = -(somme des tri produits de racines)
le produit de racines = c
Est-ce-qu'alors pour tous réels t, u, v et w tels que vw+ wt+ tu+ uv = 0 : (t+ u+ v+ w)(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) <= 0 ?
the condition on the roots contains rather 6 terms:
vw+ wt+ tu+ uv+ vt+ wu = 0
therefore,
uvw+ vwt+ wtu = -w^2 (t+ u+ v), for example
and
3(uvw+ vwt+ wtu+ tuv) = -(t^2+ u^2+ v^2+ w^2)(t+ u+ v+ w)+ t^3+ u^3+ v^3+ w^3
then
3ab =  -(t^2+ u^2+ v^2+ w^2)(t+ u+ v+ w)^2+ (t^3+ u^3+ v^3+ w^3)(t+ u+ v+ w)
i apologize, but i would have correct the equality without providing a complete solution.
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naïl
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MessageSujet: Re: imo schirt liste 87   Sam 23 Juin 2018, 13:25

This means that :
t^3+ u^3+ v^3+ w^3 = - 3b- a^3
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naïl
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MessageSujet: Re: imo schirt liste 87   Mer 04 Juil 2018, 22:26

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