Fonctions exponentielles

Bonjour, j'ai quelques problèmes avec un exercie sur les exponentielles. Je vous pose le problème :

On note P(t) le nombre (en millions) d'individus d'une certains population de bactéries à l'instant t (t 0)
On admet que la fonction P aux conditions suivantes : (E1)
Pour tout t 0, P'(t)=P(t)*(1- )
P(0)=100 pour t et P(t)>0

On considère, sur l'intervalle , la fonction h définie par h=
1. Démontrer que la fonction P satisfait aux conditions (E1) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions (E2)
Pour tout t 0, h'(t)= - h(t)
h(0)=0,01 pour t 0 et h(t)>0
2. Exprimer h(t) puis P(t) en fonction de t
3. Déterminer la limite de P en Etudier les variations de la fonction P
4. Pour quelles valeurs de t la population est-elle supérieure ou égale à 90% de sa valeur limite ?


J'ai essayé de faire les deux premières questions mais je n'y arrive pas Donc si quelqu'un pouvait me donner un p'tit coup de pouce ça ne serait pas de refus

Merci d'avance

h=1/p ==> h'=-p'/p² . P(0)=100 <==> h(0)=1/100=0,01
p vérifie (E1) <==> p'(t)=p(t)(1-p(t)/500)
<==> h'(t)=-h(t)(1-1/(500 h(t)))
<==> h'(t)=-h(t)+1/500 <==> h vérifie (E2)

==> h(t)=c exp(-t)+1/500 et h(0)=1/100=c+1/500 ==>c=4/500
==> h(t)=(4exp(-t)+1)/500
==> p(t)=500 /(4exp(-t)+1)

j'ai essayé pendant quelques heures de trouver h'=(-p')/(p²) à partir de h=1/p en essayant de toutes les manières possibles (sauf la bonne bien sur ) mais je n'arrive même pas à m'approcher du résultat voulu

Finalement j'ai trouvé, je me compliquais la vie pour rien alors que c'était facile