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 Arithmetique dans Z

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4 participants
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Christian.Vassard
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Christian.Vassard


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MessageSujet: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyJeu 04 Jan 2007, 21:07

Salut voila qlq exo sur l arithmetique
Exo N°1
Arithmetique dans Z 637461307
Exo N°2
Arithmetique dans Z 637462957
Exo N°3
Arithmetique dans Z 646965260
Exo N°4
Soit p IN un nombre premier superieur ou égal à 3,montrer qu'il existe un unique couple (a,b) (IN*²) tel que p=a²-b²

Exo N°5

soient Uo € Z et (Un)n € IN la suite défine par

quelque soit n dans IN U(n+1)=Un² - Un + 1
Montrer que quelque soit m et n dans IN
m#n ==>Um^Un=1
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyVen 05 Jan 2007, 10:25

Exo4) p=a²-b²=(a-b)(a+b) ==> a-b=1 et a+b=p
==> a=(p+1)/2 et b =(p-1)/2
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyVen 05 Jan 2007, 10:34

Exo3) a^m=b^n avec (m,n)=1
Il est clair que tout nombre premier divisant a divise b et inversement. Donc a et b ont les mêmes diviseurs premiers.
Soit a=p_1^(a_1)....p_s^(a_s) et b=p_1^(b_1)....p_s^(b_s) les décompositions en facteurs premiers.
a^m=b^n ==> qqs i , ma_i=nb_i
==> qqs i , il existe k_i tq b_i=mk_i ainsi a_i=nk_i
Alors c=p_1^(k_1)....p_s^(k_s) répond à la question.
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Sinchy
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyVen 05 Jan 2007, 10:54

exo 3
il faut remarquer
c=c^u*n+v*m avec u,v£Z u*n+v*m=1

exo2
soit d un diviseur commun à a et b alors d/a et d/bc alors d/pgcd(a,bc).
soit p premier ; p/a et p/bc alors p/ a et p/c (car p^b=1 si non p/a^b=1 absurde),alors p/pgcd(a,b).

exo 1
a^b=1 supposons que (a+b)^ab<>1 alors il existe p premier ; p divise a+b et p divise ab alors p/a+b et (p/a ou p/b) => p/a et p/b => p/a^b=1 =>p=1 absurde...
2-trivial a+b)^pgcd(a,b)=pgcd(a,b).
Very Happy Very Happy Very Happy


Dernière édition par le Ven 05 Jan 2007, 15:34, édité 1 fois
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyVen 05 Jan 2007, 13:23

Exo 5
U(n+1)+U(n)(1- U(n)= 1 ==> U(n+1)^U(n)=1 par Bezout
.....
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schwartz
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z EmptyVen 05 Jan 2007, 13:34

abdelbaki, tu fais partie de l'ecole constructive ou quoi ????

t'aime bien montrer l'existence d'un objet en le construisant.
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MessageSujet: Re: Arithmetique dans Z   Arithmetique dans Z Empty

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