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 Exponentielle

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acab8
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MessageSujet: Exponentielle   Ven 14 Déc 2012, 13:35

Determiner le Max de a tel que :

Exp(x) >= ax
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BTBICL
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MessageSujet: Re: Exponentielle   Ven 14 Déc 2012, 22:13

a=e pas trop difficile à trouver
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Tog
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MessageSujet: Re: Exponentielle   Ven 14 Déc 2012, 22:40

Salut BTBICL,

Comment tu fais ? Etude de fonction ?

Merci !
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acab8
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MessageSujet: Re: Exponentielle   Sam 15 Déc 2012, 11:01

Oui , L'etude de la fonction e^x /x
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BTBICL
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MessageSujet: Re: Exponentielle   Sam 15 Déc 2012, 15:29

tu peut facilement remarquer que a=e
mais pour le prouver :
si x=<0 c évident
si x>0
on connait tous que
ln(x)=<x-1 <=> x =< exp(x-1) <=> e.x=< exp(x)
or, si a>e et en pose x=1 :
e = exp 1 >= a > e : contradiction!
donc a=e.
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Tog
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MessageSujet: Re: Exponentielle   Sam 15 Déc 2012, 17:33

En posant g(x)=exp(x)/x on trouve g'(x)=exp(x)(x-1)/x² qui s'annule pour x=1

On vérifie que c'est le minimum de la fonction lorsque x>0 et que ce minimum vaut f(1)=e

donc pour tout x > 0, f(x) > e soit exp(x) > xe

Lorsque x<0, il est clair que a=e convient puisque exp(-x)>0 et ex < 0

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