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 IMO 1977 exo 5

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elidrissi
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MessageSujet: IMO 1977 exo 5   Mer 23 Jan 2013, 01:10

salut, celui là est asser facile, cest le premier exo d IMO que j'ai résolu ^^
a et b sont des entiers positifis. soit q le quotion de la division (a²+b²)/(a+b) et r le reste
quelles sont toutes les paires possibles pour a et b sachant que q²+r=1977
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galillee56
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MessageSujet: Re: IMO 1977 exo 5   Mer 23 Jan 2013, 13:55

(50,37) ou (50,7) je donnerai mn raisonnement ce soir
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galillee56
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MessageSujet: Re: IMO 1977 exo 5   Ven 25 Jan 2013, 20:54

dsl pour le retard bon on a a^2+b^2 >= (1/2)*(a+b)^2 donc q>= (1/2)*(a+b) donc r≤2q voyons le plus grand q possible ben 1977=44^2+41 ca merche pour 43 car r serai egal a 128 128 et superieur a 86 donc les seul valeur possible de q et r sont q=44 et r=41 ce qui donne a^2+b^2=(a+b)*44+41 soit (a-22)^2+(b-22)^2=1009 seul valeur possible (50,37) ou (50,7)
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elidrissi
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MessageSujet: Re: IMO 1977 exo 5   Ven 25 Jan 2013, 22:43

oui bravo cest juste.
voici ma méthode (la meme à peu prés)
on a q>r
r=1977-q²
rac(1977)>=q>1977-q²
ou on trouve 44,46=<q<43,96
on trouve q=44 d ou r=41
donc a²+b²=44a+44b+41
a²-44a+484+b²-44b+484=41+986
(a-22)²+(b-22)²=1009
on pose x=a-22 et y=b-22
donc x²+y²=1009, equation diphantienne de deuxieme degré, ou x et y appartiennent à Z. on sait qu exactement un de x et y est impair, donc on calcule les valeurs de x<31 impaire tel que y appartien a Z, les seules possibilitées sont |x|=28 et |y|=15
les valeurs pour les quelles a et b appartiennent à N sont x=28 et y=15 et x=28 et y=-15
donc les solutions sont (50;37) et (50;7)
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