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 ab=c²

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younesmath2012
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MessageSujet: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 11:11

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galillee56
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 11:18

on considere a=produit des pk^(i_k) et b=produit des pj^(i_j)
a et b premier entre eux donc pk premier avec pj pour tout k j si il existe i_k ou i_j qui soit impair on a donc c=P*racine(pk) la racine d'un nombre premier est irractionnel ce qui est impossible donc i_k sont paire et i_j sont paire d'ou le resultat
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Humber
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 12:03

Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 12:39

On va par récurrence sur c.
Pour c = 1, on a c² = 1 = ab, ce qui implique a = b = 1, et donc a et b sont carrés.
Pour c>1, supposons qu’on a c² = ab avec pgcd(a; b) = 1. Supposons aussi l’hypothèse de
récurrence forte que pour tout c' avec 1=< c' < c, si on a c'²=a'b' avec pgcd(a';b') = 1,
alors a' et b' sont carrés.
Alors comme on a c>1, c est divisible par un premier p. Ce p divise c²= ab, donc il divise
a ou b. Comme a et b sont premiers entre eux, p ne divise pas les deux. Donc p divise un parmi
a et b, et est premier avec l’autre.
Supposons que p divise a et est premier avec b. Comme p divise c, p² divise c² = ab.
Comme p² est premier avec b, il doit diviser a. On a donc (c/p)²= (a/p²)b avec pgcd( a/p²; b) = 1.
Par l’hypothèse de récurrence forte, il existe m et n avec a/p²=m² et b = n². Donc a= (pm)²
et b = n² sont carrés.

_________________
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Humber
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 13:15

galillee56 a écrit:
on considere a=produit des pk^(i_k) et b=produit des pj^(i_j)
a et b premier entre eux donc pk premier avec pj pour tout k j si il existe i_k ou i_j qui soit impair on a donc c=P*racine(pk) la racine d'un nombre premier est irractionnel ce qui est impossible donc i_k sont paire et i_j sont paire d'ou le resultat

Comment ça ?
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galillee56
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 14:57

non c'est 2 phrase differente ^^ pk^pj=1. Et si on a i_j ou i_k qui soit impaire alors on a..
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Oty
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MessageSujet: Re: ab=c²   Sam 26 Jan 2013, 23:00

Smile
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Geo
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MessageSujet: Re: ab=c²   Dim 27 Jan 2013, 22:48

Humber a écrit:
Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²
Faux, pour tout c entier naturel Wink
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Humber
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MessageSujet: Re: ab=c²   Dim 27 Jan 2013, 23:10

Geo a écrit:
Humber a écrit:
Avec un quantificateur existentiel il suffit de donner alpha=4 , Beta =5
Par suite a=16 et b=25 , PGCD(16,25)=1 et 16*25 = 20²
Faux, pour tout c entier naturel Wink

Je me fis à la question mon ami Smile

Sinon, il est vrai que c'est assez facile pour que ça soit une réponse et c'est pour cela qu'il faut ajouter un quantificateur universel au début,

i.e : Pour l'exo de notre ami Oty :


P.S :
Geo a écrit:
pour tout c entier naturel Wink

c est déterminée par a et b et pas le contraire à cause de la condition sur leur PGCD Smile


Amicalement
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Oty
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MessageSujet: Re: ab=c²   Dim 24 Fév 2013, 23:38

on peut montrer que soit a ou b sont la puissance du pgcd(a,c) ou pgcd(b,c) .
ma preuve du lemme pour n .
supposant : ab=c^n avec a^b=1 , soit d=pgcd(b,c) on pose b=dx et c=dy avec pgcd(x,y)=1 donc en remplacent dans l'egalité on obtient
ax=d^{n-1}y^{n} , donc y^{n}|ax comme x et premier avec y alors il es premier avec y^{n} il s'ensuit d'apres Gauss y^{n}|a (1) .
en second lieu on a aussi
a|d^{n-1}y^{n} , on note s=pgcd(d,a)
donc s|d et s|a donc s|dx=b et s|a donc s|pgcd(a,b)=1 donc s=1
ainsi pgcd(d,a)=1 et donc pgdc(d^{n-1},a)=1 et par conséquent d'apres gauss une nouvelle fois a|d^{n-1}y^{n} => a|y^{n} (2) de (1) et (2) il vient que :
a=y^{n} on remplace dans l'egalité on trouve b=d^{n} ce qui permet de conclure .
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ab=c²
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