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 (a+b+c)(ab+bc+ca)=9

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younesmath2012
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younesmath2012

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MessageSujet: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyDim 10 Fév 2013, 22:02

(a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
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alidos
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 22:02

Bonsoir Mr " Younessmath " j'espère que vous allez bien Surprised
avant de commencer je met une illustration a une des inégalités de Newton (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
l'inégalité a Prouver est :
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
D'après l'inégalité qu'on a montré au début il suffit de prouver que :
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif.latex?\sum%20a^2b^2%20\geq%20\frac{\sum%20(a^2b^2)^2}{3}%20~~\\%20~~\\%20\Leftrightarrow%20\sum%20a^2b^2\leq%203%20~~\\%20~~\\%20\Leftrightarrow%20\left%20(%20\sum%20ab%20\right%20)^2%20-2abc\left%20(%20\sum%20a%20\right%20)~%20\leq%203%20~~\\%20~~\\%20d'apres~la~condition~~~~~~(a+b+c)(ab+bc+ac)%20=9%20~~\\~~\\%20il%20~~vient~~%20que~~~~\sum%20ab%20\leq%203%20~~~~et~~~~abc\leq%201%20~~~~et~~~~%20\sum%20a\geq%203%20~~\\~~\\%20d'ou~~la~~conclusion%20
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Humber
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 22:36

alidos a écrit:
Bonsoir Mr " Younessmath " j'espère que vous allez bien Surprised
avant de commencer je met une illustration a une des inégalités de Newton (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
l'inégalité a Prouver est :
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
D'après l'inégalité qu'on a montré au début il suffit de prouver que :
(a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif.latex?\sum%20a^2b^2%20\geq%20\frac{\sum%20(a^2b^2)^2}{3}%20~~\\%20~~\\%20\Leftrightarrow%20\sum%20a^2b^2\leq%203%20~~\\%20~~\\%20\Leftrightarrow%20\left%20(%20\sum%20ab%20\right%20)^2%20-2abc\left%20(%20\sum%20a%20\right%20)~%20\leq%203%20~~\\%20~~\\%20d'apres~la~condition~~~~~~(a+b+c)(ab+bc+ac)%20=9%20~~\\~~\\%20il%20~~vient~~%20que~~~~\sum%20ab%20\leq%203%20~~~~et~~~~abc\leq%201%20~~~~et~~~~%20\sum%20a\geq%203%20~~\\~~\\%20d'ou~~la~~conclusion%20

Il faut toujours finir sa démonstration, toujours. Tu vas te rendre compte pourquoi en essayant de le faire ici ! Smile


Spoiler:
 
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alidos
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 22:38

Si tu as vu une faille Merci de l'indiquer Mr ''Humber'' quoique il n'y a aucune Very Happy
enfin je crois !
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Humber
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 22:43

Je ne peux l'indiquer parce qu’elle n'est pas écrite Smile

Elle est incluse dans la conclusion. Essayez de terminer la démonstration est là je ferai une remarque complète. Car à ce que je vois vous n'en vous rendez pas compte Smile

PS : une conclusion détaillée s'il te plaît.
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 22:52

En effet, le dernier étape est faux.

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMer 27 Fév 2013, 23:36

Je propose cette méthode trop calculatoire en attendant que quelqu'un propose une qui soit plus court et joli.

On pose p=a+b+c, q=ab+bc+ca et r=abc. On a alors pq=9.
L'inégalité se réécrit sous la forme :

r^2 (2q-p^2)-2rp+q^2 >=0

On étudie la fonction f(r)=r^2 (2q-p^2)-2rp+q^2
Sa dérivé est f'(r)=2r(2q-p^2)-2p= <===> r_0=p/(q^2-2q)

Puisque f(0) est positif, il suffit de montrer que f(r_0) est positif.

En calculant cette valeur, on aboutit à f(r_0)=4*q^4-3*p^4+54*p-324*q en utilisant la donne pq=9. Or puisque p^2 >=3q, en étudiant la derniere expression on trouve qu'elle est positive.

done.

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alidos
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyJeu 28 Fév 2013, 02:18

Oui Oui exactement c'est une faute d'innatention l'inégalité va se renversé Laughing
Meme l'inégalité suivante est erronée : (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
Il suffit de Prendre : (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 Gif
Ainsi ma faute n'est pas rectifiable Laughing .
En faite je vais proposer une deuxième Tentative Plutard Smile

radouane_BNE a écrit:


f(r_0)=4*q^4-3*p^4+54*p-324*q en utilisant la donne pq=9. Or puisque p^2 >=3q, en étudiant la derniere expression on trouve qu'elle est positive.

done.

Veuillez Montrer qu'elle est positive .Merci Very Happy


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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyJeu 28 Fév 2013, 23:15

On pose 3u=a+b+c,3v^2=ab+bc+ca et w^2=abc. Par contrainte imposé on tire uv^2=1.

L'inégalié est équivalent à :

(2v^2-3u^2)*w^6-2*u*w^3+3v^4 >=0,

en remplaçant v par u et en posant t=w^3 on aboutit à :

t^2 (2*u-3*u^4)-2*u^3*t+3>=0.

Soit f(t)=t^2 (2*u-3*u^4)-2*u^3*t+3

f' a une seule racine qui est t_0 = u^2/(2*u-3*u^3),

si t_0 est négatif, le minium de f(t) est a atteint en f(t=0)=3>0
si t_0 est positif, le minimum est en atteint en f(t_0=u^2/(2*u-3*u^3))=u^4*(2*u-3*u^4)-2*u^5*(2*a-3*u^3)+3*(2*u-3*u^3)^2=u^2 (12-36 u^2+2 u^3+23 u^4+3*u^6)>0.

Bon j'avoue que la méthode de résolution est tirée par les cheveux, mais pour certaines inégalités il n'y pas de solutions utilisant de simples méthodes, à moins que quelqu'un nous fournisse une courte solution Wink



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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyLun 04 Mar 2013, 11:39

p=a+b+c , q=ab+bc+ac , r=abc

r²(1/a²+1/b²+1/c²)= a²b²+b²c²+a²c²=q²-2rp
a²+b²+c²=p²-2q

1/a²+1/b²+1/c² >= a²+b²+c²
si q²-2rp>=r²(p²-2q)
si p²q²-2rp^3>=r²(p^4-2p²q)
si 81-2rp^3>=r²(p^4-18p ) car pq=9
soit f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
Par ailleurs, f s'annule en un point unique t>=r ==> f(r)=<0
En effet: f continue strictement croissante de [0,+00[ sur [-81,+00[ car p>=3 d'où l'existence et l'unicité de t par TVI






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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyLun 04 Mar 2013, 16:25

En fait le seul problème qui reste à vérifier est de démontrer que pour tel t ou f s'annule on a bien f(t) =<0...


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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMar 05 Mar 2013, 08:44

radouane_BNE a écrit:
En fait le seul problème qui reste à vérifier est de démontrer que pour tel t ou f s'annule on a bien f(t) =<0...

Il reste à vérifier que t>=r

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MessageSujet: Re: (a+b+c)(ab+bc+ca)=9   (a+b+c)(ab+bc+ca)=9 EmptyMar 19 Mar 2013, 13:32

abdelbaki.attioui a écrit:
p=a+b+c , q=ab+bc+ac , r=abc

r²(1/a²+1/b²+1/c²)= a²b²+b²c²+a²c²=q²-2rp
a²+b²+c²=p²-2q

1/a²+1/b²+1/c² >= a²+b²+c²
si q²-2rp>=r²(p²-2q)
si p²q²-2rp^3>=r²(p^4-2p²q)
si 81-2rp^3>=r²(p^4-18p ) car pq=9
soit f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
Par ailleurs, f s'annule en un point unique t>=r ==> f(r)=<0
En effet: f continue strictement croissante de [0,+00[ sur [-81,+00[ car p>=3 d'où l'existence et l'unicité de t par TVI






je continue sur la démo à partir d'ici , f(x)=x²(p^4-18p ) + 2xp^3 -81 pour x>=0
en effet puisque selon la condition : pq = 9 on trouve : 0 =< r=< 1 , p>= 3 et q=< 3 , on a , f est strictement monotone sur [0,+00[ , il suffit de montrer donc que : f(1) =< 0 , or pour r = 1 et pq = 9 , avec AM-GM on aura q = 3 donc p = 3 , donc f(1) = 0 , cqfd
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