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 nombre premier !

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AuteurMessage
Syba
Maître
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Masculin Nombre de messages : 132
Age : 21
Date d'inscription : 08/09/2012

MessageSujet: nombre premier !   Mar 12 Fév 2013, 22:23

Bonsoir,

Soient a,b,c et d des entiers naturels non nuls.
Montrer que si: ab=cd, alors: a²+b²+c²+d² n'est pas premier.
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alidos
Expert grade2
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Masculin Nombre de messages : 352
Age : 21
Localisation : Goulmima
Date d'inscription : 04/02/2012

MessageSujet: Re: nombre premier !   Mar 12 Fév 2013, 23:31

Bonsoir Mr Syba .

j'ai bien galéré pour trouver la forme idéale mais Bon :
puisque on a : ab=cd
on a l'égalité suivante : (ad+bc)(ac+bd) =ab(a²+b²+c²+d²)
or si , a²+b²+c²+d² est premier alors a²+b²+c²+d² divisera (ad+bc) ou divisera (ac+bd)
et puisque (a,b,c,d)£ IN* alors a²+b²+c²+d² =< (ad+bc) ou (a²+b²+c²+d²)=<(ac+bd)
ce qui est faux car par AM GM : a²+b²+c²+d² >= 2(ad+bc) > ad+bc
et a²+b²+c²+d² >= 2(ac+bd) > ac+bd . absurde
ainsi a²+b²+c²+d² n'est pas premier
d'ou la conclusion .
J'aimerais Bien voir une solution plus simple , Merci Mr Syba pour cet exercice Very Happy
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sadaso
Maître


Masculin Nombre de messages : 92
Age : 21
Date d'inscription : 23/06/2011

MessageSujet: Re: nombre premier !   Mar 12 Fév 2013, 23:48

Une solution qui prouve encore le fait que tu mérite ta qualification pour les IMO les gens de ton niveau ne feront qu'honorer notre équipe national continue !
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legend-crush
Expert sup
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Masculin Nombre de messages : 545
Age : 19
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

MessageSujet: Re: nombre premier !   Mer 13 Fév 2013, 14:19

+1
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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Masculin Nombre de messages : 2541
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: nombre premier !   Jeu 14 Fév 2013, 11:43

par l'identité de Lagrange
(a²+c²)(d²+b²)=(ad+bc)²+(ab-cd)²=(ad+bc)²

soit e= PGCD(a²+c²,d²+b²)
si e>1 alors e divise a²+b²+c²+d² et donc a²+b²+c²+d² n'est pas premier
si e=1 alors a²+c² et b²+d² sont des carrés
on pose a²+c²=u² et b²+d²=v² alors uv = ad+bc et PGCD(u,v)=1
==>auv=a²d+c²d=du²
==>av=du
==>v=d et u=a
==>b=c=0 absurde

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