Problème de semaine A.1

Problème A.1 :

solution officielle.

Sans perte de généralité, on suppose que m=>n. L'équation peut se réécrire sous la forme n^2-13*n-13*m+m^2=0.

Ceci est une équation quadratique en n et son discriminant D=-m^2+52*m-169 doit être un carré parfait. Ainsi 0<m<13/2*(1+sqrt(2)), ou encore 0<m<16.

Or si on réécrit l'équation sous la forme n(n-13)+m(m-13)=0, on peut remarquer qu'il est impossible que m et n soit supérieur ou inférieur à 13 en même temps. Or puisque m=>n, on en déduit que m appartient à {13,14,15}.

si m=13, on obtient comme solution {m,n}={13,13}.
si m=14, l'équation devient n^2-13*n+14=0, qui n'a pas de solutions.
si m=14, l'équation devient n^2-13*n+30=0, qui a comme solution 3 et 10.

Finalement, les solutions sont {13,13},{3,15},{15,3},{10,15},{15,10}.
Les solutions évidents ou l'un des deux entiers est nul est à ajouter.

Réponses correctes:

J'ai reçu 5 solutions incomplètes.