magnifique polytechnique

prouver que x est rationnel si et seulement son devellopement decimal est periodique a partir d' un certain rang trouver le rang et une periode

personne ?? allez une indication soit par des series (un peu long) soit en utilisant un peu d'arithmetique

==> si x rationnel, alors il s'écrit sous la forme x=a/b, avec a et b deux entiers (b non nul). Le développement décimal s'obtient en faisant la division euclidienne de a par b. Après chaque division, le reste doit être inférieur à b, si on obtient 0 c'est fini et on obtient un aura 0 pour reste, sinon, à un moment ou un autre, on doit tomber sur un reste déjà trouvé et on refera la même période.

<== si le développement décimal de x est périodique, il suffit juste d'écrire son développement en base de 10 pour reconnaître l'écriture décimale de x sous la forme x=a+b*10^(k-n)/(10^k-1) ou b est la période, k la longueur de la période, 10^-n le premier rang où apparaît le rang, a la partie régulière de x.

CQFD.

oui bien joue Mr.radouane mais dans le sens direct en peux aussi preciser le rang et la periode en fonction de a et b si x est rationnel x=p/q q=2^a*5^b*c_i c_i premier avec dix en multipliant tout ca pour faire apparaite 10^(max(a,b)) au denominateur on se retrouve c_i qui est premier avec donc 10^phi(ci)-1=k*c_i en multipliant par k en haut et en bas on trouve que c periodique a partir d'un certain rang le rang est max(a,b) et la periode est phi(c_i)