un peu de trigonometrie

soit a,b,c tel que:
a+b+c=0
a^2+b^2+c^2=3/2

montrez qu'il existe θ tel que:
a=cos(θ)
b=cos(θ-2Pi/3)
c=cos(θ+2Pi/3)

bn courage !

Prendre θ=kpi / k £ Z

regardes ton calcul !

Einshtein a écrit:

soit a,b,c tel que:
a+b+c=0
a^2+b^2+c^2=3/2 ....

Bonsoir !!
A mon avis , il faut partir des Hypothèses sur tes trois réels a, b et c et calculer !!
On a a=-(b+c) par la première relation
On remplace dans la seconde relation pour trouver :
2.b^2+2.c^2+2.b.c=3/2

On calcule et celà s'arrange , on trouvera donc tous calculs faits :
{(2b/rac(3)) + (c/rac(3)}^2 + c^2 =1
On sait alors qu'il existe THETA dans [0;2PI[ unique tel que :
c = COS( THETA )
et
(2b/rac(3)) + (c/rac(3) = SIN( THETA )
soit encore 2.b + c = rac(3).SIN( THETA )
soit enfin b= rac(3)/2 . SIN( THETA ) - (1/2).COS( THETA )

On reconnait -(1/2)=COS(2.PI/3) et rac(3)/2 = SIN(2.PI/3) si bien que
b= COS( THETA - 2.PI/3) par la Formule de Trigo ...
c= COS( THETA )

et enfin a=-(b+c)=-{rac(3)/2 . SIN( THETA ) - (1/2).COS( THETA )}-COS( THETA )
=-rac(3)/2 . SIN( THETA ) - (1/2).COS( THETA )
= COS( THETA + 2.PI/3)

Maintenant , ce n'est pas tout à fait ce que l'on demande MAIS si l'on constate
que a, b et c jouent des Rôles Symétriques alors , il suffira de permuter a et c
et le Tour est Joué !!!!


Amicalement . LHASSANE