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 Deuxième Épreuve 2013

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radouane_BNE
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MessageSujet: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyJeu 28 Fév 2013, 22:02

Deuxième Épreuve 2013 16589610

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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyVen 01 Mar 2013, 20:22

Merci M.Lhassane pour lancer la discussion sur ce sujet.


Pour l'exo 1),

Multiplions par abc, l'inégalité devient :

sqrt(3)*abc*(sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)) =< a^2 sqrt(a)+ b^2 sqrt(b)+c^2 sqrt(c)

Par tchebychev,

a^2 sqrt(a)+ b^2 sqrt(b)+c^2 sqrt(c) >= 1/3*(sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)*(a^2+b^2+c^2)

Il suffit ainsi de montrer que :

1/3*(a^2+b^2+c^2) >= sqrt(3)*abc

Or puisque

a^2+b^2+c^2 >=ab+bc+ca=1

Il reste juste à montrer que

abc =< 1/(3*sqrt(3))

Or par AM-GM, on a

sqrt[3] abc =< 3*abc/(ab+bc+ca)=3*abc

CQFD.

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Oeil_de_Lynx
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyVen 01 Mar 2013, 20:27

Bonsoir Radouane et au Forum .
J'ai cherché l'Exercice 3)
C'est pour m'amuser , je ne suis pas Olympien du tout !!


Les entiers naturels non nuls x, y et z vérifient la relation
x+y+z=2013.

Fixons x , alors x>=1 et comme y>=1 et z aussi on devra avoir x=2013-y-z <=2011

Ainsi si x est fixé , y+z varie entre 2 et 2013-x
Dénombrons alors le nombre N(x) de couples (y,z) d'entiers tels que
2<=y+z<=2013-x ????
Si p est un entier tel que 2<=p<=2013-x
On a (p-1) couples (y,z) d'entiers tels que y+z=p

Par conséquent ; on aura
N(x)=SIGMA{p-1 ; 2<=p<=2013-x}=SIGMA{k ; 1<=k<=2012-x}
Tous calculs faits , on trouvera :
N(x)=(1/2).((2013-x).(2012-x)

Le nombre demandé dans la Question 1) sera égal à :

N=SIGMA{N(x); 1<=x<=2011}
Qui vaut tous calculs faits :

N=(1/6).2011.2012.2013

Pour la Question 2) , on peut le faire très proprement par la Méthode de Lagrange
Mais je pense que c'est un peu dur ....
Le produit P(x,y,z)=x.y.z est MAXIMAL lorsque x=y=z
et comme x+y+z=2013 alors x=y=z= 2013/3= 671 la valeur de ce Max est (671)^3
La solution demandée est (671,671,671) .

Amicalement . LHASSANE
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyVen 01 Mar 2013, 20:36

Bonsoir M. Lhassane Smile

Pour l'Exo 2,

On pose x=0, on obtient f(f(y+f(z))=y+f(z)), ce qui signifie que pour tout x, f(f(x))=x.
pour x=y=z=0, on obtient f(f(0))=f(0), or f(f(0))=0, d'où f(0)=0.


ou encore f est injective. Soit ainsi z tel que f(z)=-y, ainsi f(x+f(0))=-f(z)+f(x+z), d'où f(x)+f(z)=f(x+z), f est de cauchy, sur Q la seule solution est f(x)=f(1)x.

CQFD.

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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyVen 01 Mar 2013, 22:02

radouane_BNE a écrit:
Bonsoir M. Lhassane Smile

Pour l'Exo 2,

On pose x=0, on obtient f(f(y+f(z))=y+f(z)), ce qui signifie que pour tout x, f(f(x))=x.
pour x=y=z=0, on obtient f(f(0))=f(0), or f(f(0))=0, d'où f(0)=0.


ou encore f est injective. Soit ainsi z tel que f(z)=-y, ainsi f(x+f(0))=-f(z)+f(x+z), d'où f(x)+f(z)=f(x+z), f est de cauchy, sur Q la seule solution est f(x)=f(1)x.

CQFD.

Pourquoi ???

Solution probleme 1:

Deuxième Épreuve 2013 Gif

Solution probleme 2:

Deuxième Épreuve 2013 Gif.download?P(x,y,z)\Rightarrow&space;f\left&space;(&space;x+f\left&space;(&space;y+f(z)&space;\right&space;)&space;\right&space;)=y+f(x+z)\\P(0,-f(0),0)\Rightarrow&space;f(f(0))=0\&space;;\&space;a=f(0)&space;\&space;donc&space;\&space;f(a)=0\\P(0,x,0)\Rightarrow&space;f(f(x))=x&space;\&space;:&space;f&space;\&space;est&space;\&space;bijective\\P(-a,-a,a)\Rightarrow&space;f(-a+f(-a))=0=f(a)\Rightarrow&space;f(-a)=2a\\P(a,-2a,-a)\Rightarrow&space;f(2a)=a\Rightarrow&space;f(f(-a))=a&space;\&space;et\&space;\f(f(-a))=-a&space;\&space;donc\&space;f(0)=0\\P(x,-f(z),z)\Rightarrow&space;f(x)=-f(z)+f(x+z)\Rightarrow&space;f(x)+f(z)=f(x+z)&space;\&space;\&space;(E


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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptyVen 01 Mar 2013, 22:21

Effectivement il fallait écrire f(f(f(0))) et pas f(f(0)) mais basiquement c'est la même idée. Merci !

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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 11:54

et f(x)=-x+a avec a£ IR est aussi une solution Wink

Amicalement .
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 12:36


Mr Ahmed Taha je crois que vous avez fait une faute d'innatention Very Happy
Pour P(a,-2a,-a)
f(a+f(-2a+f(-a)))=-2a+a
f(2a)=-a
ce qui est juste car
2a = f(-a)
et f(f(x))=x
Donc y'a Rien a remarquer Wink

Je propose une simple rectification a Ta Démo :

Spoiler:
 
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 12:59

alidos a écrit:

Mr Ahmed Taha je crois que vous avez fait une faute d'innatention Very Happy
Pour P(a,-2a,-a)
f(a+f(-2a+f(-a)))=-2a+a
f(2a)=-a
ce qui est juste car
2a = f(-a)
et f(f(x))=x
Donc y'a Rien a remarquer Wink

Je propose une simple rectification a Ta Démo :

Spoiler:
 

ah oui vous avez raison , merci
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 13:03

Solution probleme 4:

Deuxième Épreuve 2013 Image_11

Deuxième Épreuve 2013 Gif_1110
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 13:41

wow wow BRAVO cheers
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 EmptySam 02 Mar 2013, 15:02

thnx

le cas d'égalité si le triangle ABC est isocèle
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MessageSujet: Re: Deuxième Épreuve 2013   Deuxième Épreuve 2013 Empty

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