Si l désigne le côté du triangle ABC, dès lors que: l^2+ PA^2-PB^2 = 2.l PA cos(PAB), et: l^2+ PA^2-PC^2 = 2.l PA cos(PAC), il s'ensuit que:
cos(PAB) = cos(pi/3-PAC) = 1/2.cos(PAC)+sqrt(3)/2.sin(PAC) <=> cos(PAB)-1/2.cos(PAC) = sqrt(3)/2.sqrt[1-cos^2(PAC)] <=> 2(l^2+ PA^2-PB^2)-(l^2+ PA^2-PC^2) = sqrt(3[(2.l PA)^2-(l^2+ PA^2-PC^2)^2]) <=> l^2+ PA^2-2.PB^2+ PC^2 = sqrt(3[-l^4+ 2.l^2 (PA^2+ PC^2)-(PA^2-PC^2)^2]) ==> 4.l^4+ 2.l^2 (-2.PA^2-2.PC^2-2.PB^2)+ 3(PA^2-PC^2)^2+ (PA^2-2.PB^2+ PC^2)^2 = 0
L'équation de quatrième degré en l est par conséquent une équation de second degré en l^2 :
4.l^4-4.l^2 (PA^2+ PC^2+ PB^2)+ -4.PA^2 PC^2+ 4.PB^4+ 4.PA^4+ 4.PC^4-4.PB^2 (PA^2+ PC^2) = 0 c'est-à-dire l^4-(PA^2+ PC^2+ PB^2) l^2+ (-PA^2 PC^2-PB^2 PA^2-PB^2 PC^2+ PB^4+ PC^4+ PA^4) = 0 dont la factorisation peut s'écrire [l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = [-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)]/4
Enfin
[l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = 3[2(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)-(PB^4+ PC^4+ PA^4)]/4
Les deux racines de l'équation de second degré sont positives, mais la racine carrée de la plus grande d'entre elles dépasse sqrt[(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2] ;
serait-ce possible que: l^2 = (PA^2+ PC^2+ PB^2+ sqrt[-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)])/2 ?remarque : l'expression sous la racine est positive quelque soit P.
و الحمد لله