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 problème G.1

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radouane_BNE
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Masculin Nombre de messages : 1488
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MessageSujet: problème G.1   Sam 02 Mar 2013, 17:17

Soit ABC un triangle équilatéral. Soit P un point à l'extérieur de ce triangle tel que PA= 3, PB=2 et PC=1. Trouver la longueur des côtés du triangle ABC.

_________________
Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the the universe
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2246
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MessageSujet: Re: problème G.1   Ven 05 Avr 2013, 20:30

Solution postée.
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naïl
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Masculin Nombre de messages : 88
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MessageSujet: |PA- PC| = 2 <= l <= 3 = PB+ PC   Mer 23 Mai 2018, 01:01

PB^2+ CB^2- 2 PB CB.cos(<PBC) = PA^2+ CA^2- 2 PA CA cos(<CAP) = PC^2 : (1.)-- formule d'Al-Kachi العلاقة المثلثية
PB^2+ CB^2- 2 PB CB cos(Pi/ 3- <PBA) = PC^2 : (2.)
PB^2+ CB^2- 2 PB CB [0.5 cos(<PBA)+ sqr(3)/ 2 sin(<PBA)] = PC^2 : (3.)
PB^2+ CB^2- 2 PB CB [0.5 (BA^2+ BP^2- AP^2)/ (2 BA BP)+ sqr(3)/ 2 sin(<PBA)] = PC^2 : (4.)
PB^2+ CB^2- 0.5 (BA^2+ BP^2- AP^2)- sqr(3) PB CB sin(<PBA) = PC^2 (5.) <= CB = BA & (4.)
0.5 BP^2+ 0.5 AP^2+ 0.5 l^2- PC^2 = sqr(3) l PB sin(<PBA) (6.) --طول أضلاع المثلث ABC المتساوي الأضلاع l. <=>
(0.5 BP^2+ 0.5 AP^2+ 0.5 l^2- PC^2)^2 = 3(l PB)^2 [1- cos^2(<PBA)] = 3(l PB)^2 (1- [(BA^2+ BP^2- AP^2)/ (2BA BP)]^2) = 3((l PB)^2- [(BA^2+ BP^2- AP^2)/ 2]^2) (7.)
و هذه المعادلة حدودية من الدرجة الرابعة و حلها جذر تربيعي 7
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naïl
Maître


Masculin Nombre de messages : 88
Age : 36
Date d'inscription : 25/04/2006

MessageSujet: Re: problème G.1   Dim 24 Juin 2018, 12:14

Si l désigne le côté du triangle ABC, dès lors que: l^2+ PA^2-PB^2 = 2.l PA cos(PAB), et: l^2+ PA^2-PC^2 = 2.l PA cos(PAC), il s'ensuit que:
cos(PAB) = cos(pi/3-PAC) = 1/2.cos(PAC)+sqrt(3)/2.sin(PAC) <=> cos(PAB)-1/2.cos(PAC) = sqrt(3)/2.sqrt[1-cos^2(PAC)] <=> 2(l^2+ PA^2-PB^2)-(l^2+ PA^2-PC^2) = sqrt(3[(2.l PA)^2-(l^2+ PA^2-PC^2)^2]) <=> l^2+ PA^2-2.PB^2+ PC^2 = sqrt(3[-l^4+ 2.l^2 (PA^2+ PC^2)-(PA^2-PC^2)^2]) ==> 4.l^4+ 2.l^2 (-2.PA^2-2.PC^2-2.PB^2)+ 3(PA^2-PC^2)^2+ (PA^2-2.PB^2+ PC^2)^2 = 0
L'équation de quatrième degré en l est par conséquent une équation de second degré en l^2 :
4.l^4-4.l^2 (PA^2+ PC^2+ PB^2)+ -4.PA^2 PC^2+ 4.PB^4+ 4.PA^4+ 4.PC^4-4.PB^2 (PA^2+ PC^2) = 0 c'est-à-dire l^4-(PA^2+ PC^2+ PB^2) l^2+ (-PA^2 PC^2-PB^2 PA^2-PB^2 PC^2+ PB^4+ PC^4+ PA^4) = 0 dont la factorisation peut s'écrire [l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = [-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)]/4
Enfin [l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = 3[2(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)-(PB^4+ PC^4+ PA^4)]/4
Les deux racines de l'équation de second degré sont positives, mais la racine carrée de la plus grande d'entre elles dépasse sqrt[(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2] ; serait-ce possible que l^2 = (PA^2+ PC^2+ PB^2+ sqrt[-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)])/2 ?
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naïl
Maître


Masculin Nombre de messages : 88
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MessageSujet: modification   Dim 24 Juin 2018, 12:26

Si l désigne le côté du triangle ABC, dès lors que: l^2+ PA^2-PB^2 = 2.l PA cos(PAB), et: l^2+ PA^2-PC^2 = 2.l PA cos(PAC), il s'ensuit que:
cos(PAB) = cos(pi/3-PAC) = 1/2.cos(PAC)+sqrt(3)/2.sin(PAC) <=> cos(PAB)-1/2.cos(PAC) = sqrt(3)/2.sqrt[1-cos^2(PAC)] <=> 2(l^2+ PA^2-PB^2)-(l^2+ PA^2-PC^2) = sqrt(3[(2.l PA)^2-(l^2+ PA^2-PC^2)^2]) <=> l^2+ PA^2-2.PB^2+ PC^2 = sqrt(3[-l^4+ 2.l^2 (PA^2+ PC^2)-(PA^2-PC^2)^2]) ==> 4.l^4+ 2.l^2 (-2.PA^2-2.PC^2-2.PB^2)+ 3(PA^2-PC^2)^2+ (PA^2-2.PB^2+ PC^2)^2 = 0
L'équation de quatrième degré en l est par conséquent une équation de second degré en l^2 :
4.l^4-4.l^2 (PA^2+ PC^2+ PB^2)+ -4.PA^2 PC^2+ 4.PB^4+ 4.PA^4+ 4.PC^4-4.PB^2 (PA^2+ PC^2) = 0 c'est-à-dire l^4-(PA^2+ PC^2+ PB^2) l^2+ (-PA^2 PC^2-PB^2 PA^2-PB^2 PC^2+ PB^4+ PC^4+ PA^4) = 0 dont la factorisation peut s'écrire [l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = [-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)]/4
Enfin
[l^2-(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2]^2 = 3[2(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)-(PB^4+ PC^4+ PA^4)]/4
Les deux racines de l'équation de second degré sont positives, mais la racine carrée de la plus grande d'entre elles dépasse sqrt[(PA^2+ PC^2+ PB^2)/2] ; serait-ce possible que: l^2 = (PA^2+ PC^2+ PB^2+ sqrt[-3(PB^4+ PC^4+ PA^4)+6(PA^2 PC^2+ PB^2 PA^2+ PB^2 PC^2)])/2 ?
remarque : l'expression sous la racine est positive quelque soit P.
و الحمد لله
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