Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 l'inégalité de Bernoulli

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
samih mesut ozil
Féru
avatar

Masculin Nombre de messages : 44
Age : 21
Date d'inscription : 08/08/2012

MessageSujet: l'inégalité de Bernoulli   Sam 09 Mar 2013, 12:11

montrez que pour tout entier naturel n et tout réel x non nul et supérieur ou égale à -1 :

(1+x)^n > 1+nx
(2 façons)
Revenir en haut Aller en bas
Humber
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 310
Age : 20
Date d'inscription : 10/10/2012

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Sam 09 Mar 2013, 15:19

Salut,
La récurrence/ et le calcul de la dérivée
Revenir en haut Aller en bas
Wissal El
Féru
avatar

Féminin Nombre de messages : 62
Age : 20
Localisation : Sefrou
Date d'inscription : 16/12/2012

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Sam 09 Mar 2013, 21:38

Salut
La récurrence c'est claire , mais comment utiliser la dérivée ?
Une explication stp ?? Smile
Revenir en haut Aller en bas
radouane_BNE
Modérateur
avatar

Masculin Nombre de messages : 1488
Localisation : Montréal
Date d'inscription : 11/01/2006

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Dim 10 Mar 2013, 00:13

pour n=1, c'est clair. Sup pour n vrai et remarquons que :

(1+x)^{n+1}>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2>= 1+(n+1)x.

cqfd

_________________
Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the the universe
Revenir en haut Aller en bas
abdelbaki.attioui
Administrateur
avatar

Masculin Nombre de messages : 2544
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Dim 10 Mar 2013, 09:34

(1+x)^n=sum(k=0...n)C(n,k)x^k=1+nx+....+x^n>1+nx pour x>-1 et x#0

si sum(k=2...n)C(n,k)x^k > 0 pour x>-1 et x#0
c'est clair pour x>0
si -1<x<0 on pose y=-x
sum(k=2...n)C(n,k)x^k = sum(k=2...n et k pair)C(n,k)y^k -sum(k=2...n et k impair)C(n,k)y^k

si n=2m
sum(k=2...n et k pair)C(n,k)y^k=sum(k=1...m)C(2m,2k)y^(2k)
sum(k=2...n et k impair)C(n,k)y^k=sum(k=1...m-1 )C(2m,2k+1)y^(2k+1)

==> sum(k=2...n)C(n,k)x^k=sum(k=1...m-1 ) [C(2m,2k)-yC(2m,2k+1)]y^(2k)+y^(2m)>0
de même si n=2m+1



_________________
وقل ربي زد ني علما
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr/
samih mesut ozil
Féru
avatar

Masculin Nombre de messages : 44
Age : 21
Date d'inscription : 08/08/2012

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Dim 10 Mar 2013, 22:42

Wissal El a écrit:
Salut
La récurrence c'est claire , mais comment utiliser la dérivée ?
Une explication stp ?? Smile


salut wissal
posons f(x)=(1+x)^n - (1+nx)

f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1)
f'(x)=0 <---->x=0
f'(x)<0 <----> x£]-1,0[
f'(x)>0 <----> x £ ]0,+oo[

La fonction f est donc strictement décroissante sur l'intervalle ]-1,0[ et strictement croissante sur l'intervalle ]0,+oo[
il s'ensuit que f(x)>0 pour tout x >-1 et non nul
donc (1+x)^n>1+nx
Revenir en haut Aller en bas
Wissal El
Féru
avatar

Féminin Nombre de messages : 62
Age : 20
Localisation : Sefrou
Date d'inscription : 16/12/2012

MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   Dim 17 Mar 2013, 15:21

Mercii bien Samih Smile C'est plus facile que la réccurence !!
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: l'inégalité de Bernoulli   

Revenir en haut Aller en bas
 
l'inégalité de Bernoulli
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» l'inégalité de Bernoulli
» Jean-Jacques Rousseau (1754), Discours sur l’origine de l’inégalité parmi les hommes
» texte PS "politique educative territoriale pour l'égalité réelle"
» Liberté, égalité, fraternité ?
» article Pierre Jourde "Vers l'inégalité, mais ensemble" Nouvel Obs

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Terminale-
Sauter vers: