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 jolie exo (arithmétique)

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yaee
Féru


Masculin Nombre de messages : 55
Age : 21
Date d'inscription : 04/11/2012

MessageSujet: jolie exo (arithmétique)   Mer 13 Mar 2013, 20:23

bonsoir,

soit a et b de IN et pgcd(a;b)=1 et n de IN*-1
1-montrer que: si a^n divise b^n alors la valeur absolue de a =1.
2-En déduire que pour tout x et y de Z et pour tout n de IN*-1 ,on a : x^n divise y^n implique x divise y.
soit x et y deux éléments de IN*-1 ,avec x^y =y^x et x est différent de y .
2-1-montrer que x^n divise y^n ou y^n divise x^n (tu peut étudier les deux cas x est sup de y et x est inf de y).
2-2-en déduire que : x divise y ou y divise x.
3- on suppose que x=ny ,avec n de IN*.
3-1-montrer par récurrence que :3^(m-1) est sup de m pout tt m de IN*.
3-2-prouver que: n=y^(n-1).
3-3-en déduire que nécessairement on a : n=1 ou y appartient à (1,2).
3-4-résoudre dans (IN*)^2 l'équation: x^y =y^x.
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samih mesut ozil
Féru
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Masculin Nombre de messages : 44
Age : 21
Date d'inscription : 08/08/2012

MessageSujet: Re: jolie exo (arithmétique)   Mer 13 Mar 2013, 21:56

salut
1) on a a^n/b^n---->a/b
--->pgdc(a;b)=!a!
et selon les données pgdc(a;b)=1
donc !a!=1
2) posons d=pgdc(a,b) donc a=td et b=fd avec pgdc(t;f)=1
pgdc(a^n;b^n)=d^n (car pgdc(t^n;f^n)=1
donc si a^n divise b^n on a pgdc(a^n;b^n)=a^n
il s'ensuit que a^n=d^n---->a=d d'ou le résultat
pgdd(a;b)=a donc a divise b
3)1; c évident par la récurrence
3)2; x^y=y^x --->(ny)^y=y^(ny)
--->n^y.y^y=(y^n)^y ---->n.y=y^n
--->n=y^n/y
--->n=y^(n-1)
3)4; x^y=y^x
on a n=y^(n-1) donc y=n^(1/(n-1)) et x=n^(n/(n-1))
1/(n-1) £ IN ---> n-1=1---W n=2
donc y=2 et x=4
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jolie exo (arithmétique)
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