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 Arithmetique sur les polynome

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galillee56
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MessageSujet: Arithmetique sur les polynome    Jeu 21 Mar 2013, 15:57

Soit P un polynome quelconque Existe t il un polynome Q tq Q^3 soit congrue X modulo P
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MessageSujet: Re: Arithmetique sur les polynome    Ven 22 Mar 2013, 23:06

galillee56 a écrit:
Soit P un polynome quelconque Existe t il un polynome Q tq Q^3 soit congrue X modulo P

Je cherche Q dans C[X] ( valide pour n'importe quel corps K , peut être si on prend un corps 'plus' petit ça va réduire la complexité (Dans Q par exemple),..)
Notons C(D)=dn le coefficient dominant d'un polynôme D et d son degré.

Q^3=X+P.R (1)
Q n'est pas constant => q=>1
(1)==> 3q=p+r et rn.pn=qn^3

3Q²Q'=1+P'R+R'P (w)
==> 3.q.qn^3=(p+r)pn.qn rien de spécial!

Et là avec un peu de courage on dérive encore une fois (w) et en utilisant l'identité en gras
==> aprés simplification q(3q+1)=3q(3q-1)
Pas de solutions !

C/c: Un tel Q n'existe pas silent

Merci


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galillee56
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MessageSujet: Re: Arithmetique sur les polynome    Sam 23 Mar 2013, 11:02

Je pense que vous vous etes trompe En calculant car moi ca me donne 3q(q-1)=(p+r)(p+r-1) ce qui est vrai
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MessageSujet: Re: Arithmetique sur les polynome    Jeu 11 Avr 2013, 20:59

galillee56 a écrit:
Je pense que vous vous etes trompe En calculant car moi ca me donne 3q(q-1)=(p+r)(p+r-1) ce qui est vrai

Oui t'as raison, voici un autre essai:

Remarques:

-On peut considérer que P est unitaire.

-P=X il y a bien un polynôme Q qui vérifient l'identité.
-P=X^2 pas de polynôme dans ce cas, en générale pour tout polynôme P vérifiant P(0)=P'(0)=0.
-Mon premier approche me laisse penser qu'on peut construire le polynome Q en fonction de P ( pour les polynômes de 1er deg Q=P(X-alpha) je cherche encore si une telle relation pourrait être généralisé pour des degrés supérieurs...)

Pour cela j’aimerais bien, savoir la réponse à ces deux questions:
C'est quoi l'espace de travail Z[X] Q[X] R[X] Z/pZ[X] (dans ce dernier il me semble que l’équation est solvable..)?
Rassures moi que cette question n'est pas l'avant dernière d'une épreuve de 17 pages Razz

Merci
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galillee56
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MessageSujet: Re: Arithmetique sur les polynome    Ven 26 Avr 2013, 15:15

je suis desole pour le retard je viens de voire que vous avez poster une reponse on travail dans R[X] et c'est un oral de polytechnique je suis d'accord c'est difficile ^^
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galillee56
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MessageSujet: Re: Arithmetique sur les polynome    Ven 26 Avr 2013, 16:32

rebonjour Mr selfrespect,
je pense que j'ai trouve un semblant de preuve mais j'aimerai bien connaitre votre et l'avis des autres bon alors voila a quoi j'ai pense
on est tous d'accord qu'on peut limiter les recherches et voir les polynome R de degre inferieur au deg(P) et superieur au deg(p)/3 maintenant raisonant sur les Zero de P supposon qu il admettent k zero(a_1...a_k) donc si un tel polynome R existe alors R^3(a_i)=a_i donc R(a_i)=racine cubique (a_i) donc une petite interpolation de Lagrange devrait resoudre l'affaire mais c'est juste une idee Smile
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