| problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) | |
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+7namily elhor_abdelali rockabdel Kendor Weierstrass abdelbaki.attioui samir 11 participants |
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
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samir Administrateur
Nombre de messages : 1872 Localisation : www.mathematiciens.tk Date d'inscription : 23/08/2005
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Lun 08 Jan 2007, 23:02 | |
| salut chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mar 09 Jan 2007, 11:51 | |
| Bonjour solution postée voici la solution d'abdelbaki.attioui Bonjour qqs n>1, 1/e-(1-1/n)^n<1/ne <==> qqs n>0 (1+1/n)^n <e On pose x_n=(1+1/n)^n et y_n=1+1/1!+1/2!+...+1/n!
On a ( formule du binôme) y_n-x_n= (sum de k=2 à n) a_k/k! où a_k=1-(1-1/n)...(1-(k-1)/n) On a, par recurrence sur k, 0=<a_k=<k(k-1)/(2n) pour k=2 à n ==> 0=<2n(y_n-x_n=)<1/(sum de k=2 à n)1/(k-2)!=<1+1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-3)<3 ==> 0=<y_n-x_n=<3/(2n) (*)
Montrons que la suite (x_n) est strictement croissante. Pour n>1, x_(n-1)<x_n <==> 1-1/n < (1-1/n²)^n En notant C(n,k) le coefficient binômial. On a alors (1-1/n²)^n-(1-1/n)=C(n,2)/n^4-C(n,3)/n^6+....+(-1)^nC(n,n)/n^(2n) En regroupant les termes de la somme 2 par 2 ( à l'exception du dernier qui est tout seul si n est pair) et en remarquant que n²C(n,2k)>C(n,2k+1) pour k=1 à [n/2] que l'on a le résultat.
Si on prend (pour définition) e=lim x_n ou e=lim y_n ==> d'aprés (*), lim x_n=lim y_n=e ==> par strict croissance de (x_n), x_n<e pour tout n>0
A+ | |
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Weierstrass Expert sup
Nombre de messages : 2079 Age : 34 Localisation : Maroc Date d'inscription : 03/02/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mar 09 Jan 2007, 12:36 | |
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Kendor Féru
Nombre de messages : 64 Localisation : Malakoff (92240) Date d'inscription : 13/12/2005
| Sujet: Questions Mar 09 Jan 2007, 13:17 | |
| S'agit-il d'inégalités usuelles ou de la notation pour les questions de domination et de négligeabilité? Merci d'avance pour votre réponse! Ciao! A+
Kendor | |
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rockabdel Maître
Nombre de messages : 264 Date d'inscription : 15/09/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mar 09 Jan 2007, 14:00 | |
| Pour le "e" http://fr.wikipedia.org/wiki/E_(nombre) | |
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elhor_abdelali Expert grade1
Nombre de messages : 488 Age : 61 Localisation : Maroc. Date d'inscription : 24/01/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mar 09 Jan 2007, 18:11 | |
| Bonjour ; Solution postée voici la solution d'elhorBonjour Samir ;
Pour h > 0 il est facile d’établir que h > ln(1+h) (une petite étude de fonction par exemple).
En faisant h = 1/(n-1) on a 1 > (n-1) ln(n/(n-1)) ou encore -1 < (n-1) ln (1-1/n) puis par croissance (stricte) de la fonction exponentielle ,
1/e < (1-1/n)^(n-1) c'est-à-dire (1/e)(1-1/n) < (1-1/n)ⁿ qui s’écrit aussi 1/e – (1-1/n)ⁿ < 1/ne qu’est l’inégalité demandée.
Sauf erreur bien entendu | |
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namily Maître
Nombre de messages : 88 Age : 34 Date d'inscription : 17/12/2006
| Sujet: slt Mar 09 Jan 2007, 20:21 | |
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schwartz Maître
Nombre de messages : 78 Date d'inscription : 28/12/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mer 10 Jan 2007, 04:32 | |
| e c la base du logarithme neperien. PS : l'exercice figure sur le manuel du terminal SM, avec des question intermediaires. | |
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khamaths Maître
Nombre de messages : 98 Date d'inscription : 17/03/2006
| Sujet: problème 63 Mer 10 Jan 2007, 17:45 | |
| Bonjour Bonjour Elhor;bon retour sur le forum et bonne année. solution postée voici la solution de khamathsBonjour Samir
considérons la fonction f définie sur I = ]0;+oo[ par : f(x) = (x/e)^x f est dérivable sur I et sa dérivée est : f '(x) = [ ln(x/e) +1] f(x) =====>f admet une valeur minimale absolue 1/e au point 1. posons : xo= (n-1)/n xo ¤ I -{1} ====> f(xo) > 1/e ====>[(n-1)/(ne)]^[(n-1)/n] >1/e ====>(1-1/n)^(n-1) > 1/e ====>(1-1/n)^n >1/e(1-1/n) ====>1/e - (1-1/n)^n < 1/(ne) | |
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Weierstrass Expert sup
Nombre de messages : 2079 Age : 34 Localisation : Maroc Date d'inscription : 03/02/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Mer 10 Jan 2007, 18:49 | |
| - schwartz a écrit:
- e c la base du logarithme neperien.
PS : l'exercice figure sur le manuel du terminal SM, avec des question intermediaires. Quelle page? | |
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Kendor Féru
Nombre de messages : 64 Localisation : Malakoff (92240) Date d'inscription : 13/12/2005
| Sujet: Re-question Jeu 11 Jan 2007, 10:42 | |
| Inférieur ou négligeable? | |
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elhor_abdelali Expert grade1
Nombre de messages : 488 Age : 61 Localisation : Maroc. Date d'inscription : 24/01/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Dim 14 Jan 2007, 00:06 | |
| Merci khamaths et bonne année également | |
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Andrew Wiles Débutant
Nombre de messages : 4 Date d'inscription : 29/12/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Dim 14 Jan 2007, 11:07 | |
| Solution postée j'arrive pas à ouvrir le dossier qui contient la solution ( administration) | |
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abdelilah Maître
Nombre de messages : 206 Localisation : Lblad Date d'inscription : 22/08/2006
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Dim 14 Jan 2007, 23:36 | |
| bonjour solution postée voici la solution d'abdelilah on par croissance du logarithme niperien: 1/e < (1- 1/n)^(n-1) <===> -1/n<(n-1)/n ln((n-1)/n) par le changement x=(n-1)/n la question devient pour tout x ds (0,1) on a f(x)=xln(x)-x+1>0 mais f'(x)=ln(x) negative sur (0,1) donc f est decroissante, et puisque lim qd x --->1 de f(x)=0 on f(x)>0 pour tous x ds (0,1). cqfd abdelilah a+ | |
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Kendor Féru
Nombre de messages : 64 Localisation : Malakoff (92240) Date d'inscription : 13/12/2005
| Sujet: Commentaire Lun 15 Jan 2007, 13:04 | |
| N'empêche que personne ne m'a répondu pour me dire que c'était une inégalité et non une "négligeabilité".Le symbole employé prêtait en effet à confusion. Sinon,j'aurais facilement trouvé. | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) Lun 15 Jan 2007, 23:57 | |
| Bonsoir Je pense qu'il faut donner une démo sans le recours au log ou à l'exp ou à l'étude d'une fonction. Dans le cas contraire, il suffit de remarquer que qqs x>0 , exp(x)>1+x ==> qqs n>0 (1+1/n)^n <e <==> qqs n>1, 1/e-(1-1/n)^n<1/ne | |
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| Sujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) | |
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| problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007) | |
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