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 problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Lun 08 Jan 2007, 23:01


[c'est mieux d'envoyer les solutions en format word ( si possible )]

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samir
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Lun 08 Jan 2007, 23:02

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mar 09 Jan 2007, 11:51

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
qqs n>1, 1/e-(1-1/n)^n<1/ne <==> qqs n>0 (1+1/n)^n <e
On pose x_n=(1+1/n)^n et y_n=1+1/1!+1/2!+...+1/n!

On a ( formule du binôme) y_n-x_n= (sum de k=2 à n) a_k/k!
où a_k=1-(1-1/n)...(1-(k-1)/n)
On a, par recurrence sur k, 0=<a_k=<k(k-1)/(2n) pour k=2 à n
==> 0=<2n(y_n-x_n=)<1/(sum de k=2 à n)1/(k-2)!=<1+1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-3)<3
==> 0=<y_n-x_n=<3/(2n) (*)

Montrons que la suite (x_n) est strictement croissante.
Pour n>1, x_(n-1)<x_n <==> 1-1/n < (1-1/n²)^n
En notant C(n,k) le coefficient binômial.
On a alors (1-1/n²)^n-(1-1/n)=C(n,2)/n^4-C(n,3)/n^6+....+(-1)^nC(n,n)/n^(2n)
En regroupant les termes de la somme 2 par 2 ( à l'exception du dernier qui est tout seul
si n est pair) et en remarquant que n²C(n,2k)>C(n,2k+1) pour k=1 à [n/2] que l'on a le résultat.

Si on prend (pour définition) e=lim x_n ou e=lim y_n
==> d'aprés (*), lim x_n=lim y_n=e
==> par strict croissance de (x_n), x_n<e pour tout n>0

A+

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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mar 09 Jan 2007, 12:36

c'est quoi ce e
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Kendor
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MessageSujet: Questions   Mar 09 Jan 2007, 13:17

S'agit-il d'inégalités usuelles ou de la notation pour les questions de domination et de négligeabilité?
Merci d'avance pour votre réponse!
Ciao!
A+

Kendor
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rockabdel
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mar 09 Jan 2007, 14:00

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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mar 09 Jan 2007, 18:11

Bonjour ;
Solution postée farao
voici la solution d'elhor
Bonjour Samir ;



Pour h > 0 il est facile d’établir que h > ln(1+h) (une petite étude de fonction par exemple).

En faisant h = 1/(n-1) on a 1 > (n-1) ln(n/(n-1)) ou encore -1 < (n-1) ln (1-1/n) puis par croissance (stricte) de la fonction exponentielle ,

1/e < (1-1/n)^(n-1) c'est-à-dire (1/e)(1-1/n) < (1-1/n)ⁿ qui s’écrit aussi 1/e – (1-1/n)ⁿ < 1/ne qu’est l’inégalité demandée.

Sauf erreur bien entendu
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namily
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MessageSujet: slt   Mar 09 Jan 2007, 20:21

e c koi??? entier ???
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schwartz
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mer 10 Jan 2007, 04:32

e c la base du logarithme neperien.
PS : l'exercice figure sur le manuel du terminal SM, avec des question intermediaires.
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khamaths
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MessageSujet: problème 63   Mer 10 Jan 2007, 17:45

Bonjour
Bonjour Elhor;bon retour sur le forum et bonne année.
solution postée Neutral
voici la solution de khamathsBonjour Samir

considérons la fonction f définie sur I = ]0;+oo[ par : f(x) = (x/e)^x
f est dérivable sur I et sa dérivée est : f '(x) = [ ln(x/e) +1] f(x)
=====>f admet une valeur minimale absolue 1/e au point 1.
posons : xo= (n-1)/n
xo ¤ I -{1} ====> f(xo) > 1/e
====>[(n-1)/(ne)]^[(n-1)/n] >1/e
====>(1-1/n)^(n-1) > 1/e
====>(1-1/n)^n >1/e(1-1/n)
====>1/e - (1-1/n)^n < 1/(ne)
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Mer 10 Jan 2007, 18:49

schwartz a écrit:
e c la base du logarithme neperien.
PS : l'exercice figure sur le manuel du terminal SM, avec des question intermediaires.
Quelle page?
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Kendor
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MessageSujet: Re-question   Jeu 11 Jan 2007, 10:42

Inférieur ou négligeable?
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Dim 14 Jan 2007, 00:06

Merci khamaths et bonne année également farao
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Andrew Wiles
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Dim 14 Jan 2007, 11:07

Solution postée Very Happy
j'arrive pas à ouvrir le dossier qui contient la solution ( administration)
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abdelilah
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Dim 14 Jan 2007, 23:36

bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelilah
on par croissance du logarithme niperien:
1/e < (1- 1/n)^(n-1) <===> -1/n<(n-1)/n ln((n-1)/n)
par le changement x=(n-1)/n la question devient
pour tout x ds (0,1) on a f(x)=xln(x)-x+1>0
mais f'(x)=ln(x) negative sur (0,1)
donc f est decroissante, et puisque lim qd x --->1 de f(x)=0
on f(x)>0 pour tous x ds (0,1).
cqfd
abdelilah
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MessageSujet: Commentaire   Lun 15 Jan 2007, 13:04

N'empêche que personne ne m'a répondu pour me dire que c'était une inégalité et non une "négligeabilité".Le symbole employé prêtait en effet à confusion.
Sinon,j'aurais facilement trouvé.
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   Lun 15 Jan 2007, 23:57

Bonsoir
Je pense qu'il faut donner une démo sans le recours au log ou à l'exp ou à l'étude d'une fonction.
Dans le cas contraire, il suffit de remarquer que qqs x>0 , exp(x)>1+x
==> qqs n>0 (1+1/n)^n <e <==> qqs n>1, 1/e-(1-1/n)^n<1/ne

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MessageSujet: Re: problème N°63 de la semaine (08/01/2007-14/01/2007)   

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