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 Système

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hilbert_1988
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MessageSujet: Système   Système EmptyDim 19 Mai 2013, 04:17

Résoudre dans l'ensemble des réels positifs le système suivant :

Système Gif.latex?\left\{\begin{matrix}&space;(x+1)(y+1)(z+1)&space;&=&space;&5&space;\\&space;\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}&=&space;&\sqrt{x+6}&space;\end{matrix}\right
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nmo
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MessageSujet: Re: Système   Système EmptyDim 19 Mai 2013, 21:11

hilbert_1988 a écrit:
Résoudre dans l'ensemble des réels positifs le système suivant :
Système Gif.latex?\left\{\begin{matrix}&space;(x+1)(y+1)(z+1)&space;&=&space;&5&space;\\&space;\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}&=&space;&\sqrt{x+6}&space;\end{matrix}\right
Je propose une solution:
On a Système Gif, soit Système Gif ce qui implique: Système Gif.latex?\begin{cases}yz+y+z+1=\frac{5}{x+1}\\y+z+2\sqrt{y.
En soustrayant la deuxième équation de la première membre par membre, on aura: Système Gif.latex?(\sqrt{y.z}-1)^2=yz-2\sqrt{y.
Ici, on doit étudier la fonction f définie sur Système Gif par Système Gif.
La mission est difficile à la main, mais voyons ce que WolframAlpha nous donne:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=5%2F%28x%2B1%29+-+%28\sqrt%28x%2B6%29-\sqrt%28x%29%29^2 [/url].
On a donc Système Gif avec égalité si et seulement si Système Gif.
Or, on a d'un autre côté Système Gif.latex?(\forall (y,z)\in\mathbb{R}+^2): (\sqrt{y.
On en conclût qu'on est dans le cas d'égalité, c'est à dire que Système Gif.latex?(\sqrt{y et Système Gif soit encore Système Gif et Système Gif.
En injectant Système Gif dans la première équation, on aura: Système Gif.latex?\frac{5}{4} soit Système Gif ou encore Système Gif.
Et puisque Système Gif, on est dans le cas d'égalité de l'inégalité arithmético-géométrique.
Ce qui donne Système Gif.
Ainsi, les ystème proposé admet le triplet Système Gif comme solution unique.
Sauf erreurs.
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