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 Topologie des espaces vectoriels normes

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2 participants
AuteurMessage
alicia alicia
Habitué



Féminin Nombre de messages : 24
Age : 29
Date d'inscription : 06/01/2013

Topologie des espaces vectoriels normes Empty
MessageSujet: Topologie des espaces vectoriels normes   Topologie des espaces vectoriels normes EmptyLun 27 Mai 2013, 18:54

SLT on vient de commencer le cours concernant la Topologie des espaces vectoriels normes
mais je sais pas comment procéder pour montrer qun ensemble est ferme ou bien ouvert donc jespere a travers ces exemples avoir une idée la methode quon suive pour résoudre ce genre de questions


Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermes :

A = {(x, y) ∈ R^2 ; 0 < |x − 1| < 1}


H = {(x, y) ∈ R^2 ; 2ln|x^2 + 1|> 0}.

B = {(x, y) ∈ R^2 0 ≤ x ≤ y}


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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: Topologie des espaces vectoriels normes   Topologie des espaces vectoriels normes EmptyLun 27 Mai 2013, 21:07

1ére méthode
(x,y) dans A <==> y dans R et x dans 0<x<2 et x#1

Alors A = ]0,2[\{1] X R c'est un ouvert de R² car produit de 2 ouvert de R

2éme méthode
Soit (x,y) dans A, 0<|x-1|<1 on prend un r tel que 0<r<1-|x-1| et 0<r<|x-1|
Alors B((x,y),r) C A en effet
soit (u,v) dans B((x,y),r) alors |u-x|<r et |v-y|<r alors u#1
et |u-1|=|u-x+x-1|=< |u-x|+|x-1|<r+|x-1|<1 cqfd
Donc par définition A est ouvert de R²

3éme méthode
soit f : R² ---> R définie par f(x,y)=|x-1|
f continue sur R² et A=f^(-1) ]0,1[ et comme ]0,1[ ouvert de R alors A ouvert de R²
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Topologie des espaces vectoriels normes
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