Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 inégalité avec cos et sin

Aller en bas 
AuteurMessage
hilbert_1988
Féru


Masculin Nombre de messages : 31
Age : 30
Date d'inscription : 24/10/2009

inégalité avec cos et sin Empty
MessageSujet: inégalité avec cos et sin   inégalité avec cos et sin EmptyDim 09 Juin 2013, 16:59

Salut tout le monde,

Je vous propose cette jolie inégalité.

Soit n un entier naturel supérieur à 1 et x un réel. Montrer que :

inégalité avec cos et sin Gif
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 25
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

inégalité avec cos et sin Empty
MessageSujet: Re: inégalité avec cos et sin   inégalité avec cos et sin EmptyDim 28 Juil 2013, 11:30

hilbert_1988 a écrit:
Salut tout le monde,
Je vous propose cette jolie inégalité.
Soit n un entier naturel supérieur à 1 et x un réel. Montrer que :
inégalité avec cos et sin Gif
Je propose ma solution par récurrence sur l'entier n:
*Initialisation:
Pour inégalité avec cos et sin Gif, on est amené à prouver que: inégalité avec cos et sin Gif.
Cette inégalité s'écrit: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\cos^{6}(x)+\sin^{6}(x)+3\cos^2(x).\sin^2(x)(\cos^2(x)+\sin^2(x))\le(\cos^2(x)-\sin^2(x))^2+4\cos^2(x).
Soit encore: inégalité avec cos et sin Gif.
Ce qui est clairement vrai car l'inégalité est réduite à une égalité.
*Hérédité:
Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier n, c'est à dire que: inégalité avec cos et sin Gif.
Et montrons qu'elle est vraie pour son succeur n+1, c'est à dire que: inégalité avec cos et sin Gif.
On a: inégalité avec cos et sin Gif.
Donc: inégalité avec cos et sin Gif.latex?(\cos^2(x)+\sin^2(x)).
Et ainsi: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\cos^{2n+6}(x)+\sin^{2n+6}(x)\le\cos^2(2x)+\frac{\sin^2(2x)}{2^{n+1}}-\cos^2(x).\sin^2(x).
Il suffit donc de prouver que: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\cos^2(2x)+\frac{\sin^2(2x)}{2^{n+1}}-\cos^2(x).\sin^2(x)ou encore: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\frac{\sin^2(2x)}{2^{n+1}}\le\cos^2(x).\sin^2(x).
Cette dernière inégalité s'écrit: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\frac{\sin^2(x).\cos^2(x)}{2^{n-1}}\le\cos^2(x).\sin^2(x).(\sin^{2n+2}(x)+\cos^{2n+2}(x))+\frac{\sin^2(x)soit: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\sin^2(x).\cos^2(x)\le2^n.\cos^2(x).\sin^2(x).==>(*)
Il est évident que la fonction inégalité avec cos et sin Gifest convexe.
Il vient donc que: inégalité avec cos et sin Gif.latex?\bigg(\frac{1}{2}(\sin^2(x)+\cos^2(x))\bigg)^{n+1}\le\frac{1}{2}.(\sin^2(x))^{n+1}+\frac{1}{2}.
Soit: inégalité avec cos et sin Gif.latex?1\le2^n.
Il s'ensuit donc que * est vraie, d'où le résultat.
*Conclusion de la récurrence:
On a: inégalité avec cos et sin Gif.
CQFD.
Sauf erreurs.
Revenir en haut Aller en bas
 
inégalité avec cos et sin
Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» inégalité avec deux variables
» Une inégalité avec la constante d'Euler.
» Inégalité avec a_i, a_j € R*.
» Inégalité avec determinant
» Montrer une inégalité.

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Inégalités-
Sauter vers: