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 Marathon d'arithmetique

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galillee56
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MessageSujet: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 16:54

il y a des marathons partout ces derniers temps grace a plusieurs personne passione de maths sur ce site ca fait plaisir de voir ca Smile .donc voici un marathons d'arithmetiques les regles sont les meme bon marathons 
exo 1:
trouver a et b tel que 3^a+7^b soit un carre parfait. 
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 17:54

Solution pour exercice 1
Spoiler:
 
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 18:02

bien joue Wink a vous de poser un exo
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 18:06

Exercice 2 
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 18:32

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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 18:38

Mr Galille56
Pour quoi si 9 divise y! alors il divise 2001 
Afin que ca soit vrai il faut au moins que 3 divise x  ce qui n'est pas forcement vrai.
Mais on tout cas tu est sur le bon chemain
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 19:03

si si c bon car si 3<y 3/x^2 donc 3|x donc 9|x^2 Wink  j'ai oublie de le preciser merci Smile
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Juin 2013, 19:36

exo 3:
soit a et n des entier positif prouver que :

est divisible par n!
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 06 Juil 2013, 21:14

voici ce que je propose
Spoiler:
 
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 06 Juil 2013, 21:18

bon solution
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 06 Juil 2013, 21:24

.
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Mar 09 Juil 2013, 17:31

Je vous propose l'exo suivant (edite pour ne pas bloque se marathon)
Exo 4
Trouver toutes les entiers tel que 2^{a}+3^{b}=5^{c}
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alidos
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Ven 12 Juil 2013, 12:17

Salut  Aymane  Smile  bon je propose une solution

Spoiler:
 


Dernière édition par alidos le Ven 12 Juil 2013, 13:32, édité 2 fois
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alidos
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Ven 12 Juil 2013, 12:30

Exercice 5

soit a,b,x  des entiers naturelles  tels que



prouver que et
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Dim 14 Juil 2013, 14:39

salut les matheux, ça va?
pour lexo d alidos je me suis concentré sur x étant premier, pour x n'étant pas premier ce sera plus ou moins la memechose
Spoiler:
 

sauf erreur biensur ^w^

ze sais ze sais, zai mis beaucoup de cas :p


Dernière édition par elidrissi le Dim 14 Juil 2013, 21:56, édité 3 fois
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Dim 14 Juil 2013, 18:16

voila, la generalisation
soit A B et X des nombres tels que
X^(A+B)=B. A^B
on pose X=c.x ,A=a. x^k et B=b. x^n tel que x est un nombre premier et a et b nadmettent pas la division sur x
pour que cela se réalise, il faut que les puissances des x des 2 cotées soit égales, donc:
x^(A+B)=x^(k+B)  . x^n
donc A+B=kB+n , equation déja résolue ( la methode est un tout petit peu differente, mais  je vais pas la mettre)
pour que cela soit vrai , ces valeurs k=1 ,n= X=A et B=X^X doivent réaliser c^(A+B)=b. a^B
on a  X=A donc c.x=a.x^k donc c=a. x^(k-1)=a.x^(1-1)=a donc c=a
donc a^(A+B)=b. a^B donc b =a^B
en remplacant au tout début et en simplifiant on obtient (ax)^X=b. x^X   donc b=x^X , ce qui réalise ce qui est demandé
sauf erreur
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Ven 19 Juil 2013, 00:36

elidrissi a écrit:
voila, la generalisation
soit A B et X des nombres tels que
X^(A+B)=B. A^B
on pose X=c.x ,A=a. x^k et B=b. x^n tel que x est un nombre premier et a et b nadmettent pas la division sur x
pour que cela se réalise, il faut que les puissances des x des 2 cotées soit égales, donc:
x^(A+B)=x^(k+B)  . x^n
donc A+B=kB+n , equation déja résolue ( la methode est un tout petit peu differente, mais  je vais pas la mettre)
pour que cela soit vrai , ces valeurs k=1 ,n= X=A et B=X^X doivent réaliser c^(A+B)=b. a^B

on a  X=A donc c.x=a.x^k donc c=a. x^(k-1)=a.x^(1-1)=a donc c=a
donc a^(A+B)=b. a^B donc b =a^B
en remplacant au tout début et en simplifiant on obtient (ax)^X=b. x^X   donc b=x^X , ce qui réalise ce qui est demandé
sauf erreur
L'équation diophantienne que tu as trouvé admet une infinité de solutions.
Je pense qu'il te faut plus d'argument pour aboutir à k=1.
De plus, je ne vois pas comment tu as fait pour conclure que n=X=A!!
(En admettant que tu as eu k=1, tu n'aura que A=a).
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Dim 28 Juil 2013, 21:58

bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 29 Juil 2013, 21:56

elidrissi a écrit:
bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
Ce n'est pas la même chose. Aucune particularité n'est donnée aux entiers vérifiant l'équation: A+B=k.B+n.
Et voici un contre exemple: 8+5=2.5+3 (A=8, B=5, k=2 et n=3).
Il faut changer d'optique...
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Vz
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Mar 30 Juil 2013, 17:27

alidos a écrit:
Exercice 5

soit a,b,x  des entiers naturelles  tels que



prouver que   et

 
Dans la suite on notera  la valuation p-adique de , on introduit aussi le petit lemme suivant qui nous servira à plusieurs reprises dans la démonstration :
si  est un entier naturel non nul alors pour tout nombre premier  on a  
 
Maintenant on commencera par supposer que les entiers  et  sont non nuls sans quoi le problème devient immédiat, on a donc pour tout nombre premier  l'égalité , une bonne première chose est de poser  si bien que l'on peut trouver deux entiers  et  premiers entre eux tels que  et , l'égalité devient , donc il est clair que  est un diviseur de  et comme cela vaut pour tout nombre premier  on peut écrire pour un certain entier naturel , supposons dans un premier temps que  et soit un diviseur premier  de , montrons que ce choix implique , si tel n'était pas le cas alors  et comme on a déjà montré que  alors on a nécessairement  donc en écrivant  on voit bien que  cela contredit le fait que  de manière similaire on peut remarquer que . Or l'équation peut s'écrire aussi de la forme  avec un tel choix du nombre premier  on doit avoir , et comme  alors  et donc  d'après le lemme ce qui est absurde. On vient donc de montrer que , si  on obtient facilement  sinon l'égalité  montre que , or l'inégalité de la moyenne arithmérique géométrique donne:
  
et donc  d'autre part on a évidemment  car sinon on aura  ce qui est faux, ainsi pour tout diviseur premier  de  on a  donc on a nécessairement  pour tout diviseur premier  de  comme cela est clairement vrai aussi pour  on a donc  et  cela permet de conclure 
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Jeu 01 Aoû 2013, 00:09

nmo a écrit:
elidrissi a écrit:
bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
Ce n'est pas la même chose. Aucune particularité n'est donnée aux entiers vérifiant l'équation: A+B=k.B+n.
Et voici un contre exemple: 8+5=2.5+3 (A=8, B=5, k=2 et n=3).
Il faut changer d'optique...

a part que ces nombres ne realisent pas les conditions posees Wink

'fin, sauf erreur Very Happy
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 22 Fév 2014, 10:43

Pourquoi ne pas reprendre Ce sujet d'Arithmétique? vu que il ya eu un marathon d'inegalités un autre d'EF et un petit troisième de géométrie.
Les règles sont claires: qui résoud un exercice (en Spoiler) en poste un nouveau.
Exercice 6:
Montrer que si 2^n − 1 est un nombre premier, alors n est également premier.
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Freud.
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 22 Fév 2014, 11:17

Solution 6:
 

N.B les nombres de la forme 2^p-1 où p est un nombre premier sont appelés nombres de Mersenne
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Freud.
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Sam 22 Fév 2014, 11:19

Exercice 7

Pour quelles valeurs de a l'équation x²+axy+y²=1 admet-elle un infinité de solutions dans Z ?
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Lonely-Guy
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Lun 24 Fév 2014, 08:25

Signe:

On remarque que x=1 y=-a est toujours solution de l'équation
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    

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Marathon d'arithmetique
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