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 Marathon d'arithmetique

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galillee56
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MessageSujet: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 16:54

il y a des marathons partout ces derniers temps grace a plusieurs personne passione de maths sur ce site ca fait plaisir de voir ca Smile .donc voici un marathons d'arithmetiques les regles sont les meme bon marathons 
exo 1:
trouver a et b tel que 3^a+7^b soit un carre parfait. 
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 17:54

Solution pour exercice 1
Spoiler:
 
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 18:02

bien joue Wink a vous de poser un exo
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 18:06

Exercice 2 
Marathon d'arithmetique  Gif
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 18:32

Marathon d'arithmetique  Codeco32
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 18:38

Mr Galille56
Pour quoi si 9 divise y! alors il divise 2001 
Afin que ca soit vrai il faut au moins que 3 divise x  ce qui n'est pas forcement vrai.
Mais on tout cas tu est sur le bon chemain
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 19:03

si si c bon car si 3<y 3/x^2 donc 3|x donc 9|x^2 Wink  j'ai oublie de le preciser merci Smile
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Juin 2013, 19:36

exo 3:
soit a et n des entier positif prouver que :
Marathon d'arithmetique  Codeco35
est divisible par n!
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galillee56
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 06 Juil 2013, 21:14

voici ce que je propose
Spoiler:
 
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 06 Juil 2013, 21:18

bon solution
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 06 Juil 2013, 21:24

.
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyMar 09 Juil 2013, 17:31

Je vous propose l'exo suivant (edite pour ne pas bloque se marathon)
Exo 4
Trouver toutes les entiers tel que 2^{a}+3^{b}=5^{c}
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alidos
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyVen 12 Juil 2013, 12:17

Salut  Aymane  Smile  bon je propose une solution

Spoiler:
 


Dernière édition par alidos le Ven 12 Juil 2013, 13:32, édité 2 fois
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alidos
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyVen 12 Juil 2013, 12:30

Exercice 5

soit a,b,x  des entiers naturelles  tels que

Marathon d'arithmetique  Gif

prouver que Marathon d'arithmetique  Gif et Marathon d'arithmetique  Gif
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyDim 14 Juil 2013, 14:39

salut les matheux, ça va?
pour lexo d alidos je me suis concentré sur x étant premier, pour x n'étant pas premier ce sera plus ou moins la memechose
Spoiler:
 

sauf erreur biensur ^w^

ze sais ze sais, zai mis beaucoup de cas :p


Dernière édition par elidrissi le Dim 14 Juil 2013, 21:56, édité 3 fois
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyDim 14 Juil 2013, 18:16

voila, la generalisation
soit A B et X des nombres tels que
X^(A+B)=B. A^B
on pose X=c.x ,A=a. x^k et B=b. x^n tel que x est un nombre premier et a et b nadmettent pas la division sur x
pour que cela se réalise, il faut que les puissances des x des 2 cotées soit égales, donc:
x^(A+B)=x^(k+B)  . x^n
donc A+B=kB+n , equation déja résolue ( la methode est un tout petit peu differente, mais  je vais pas la mettre)
pour que cela soit vrai , ces valeurs k=1 ,n= X=A et B=X^X doivent réaliser c^(A+B)=b. a^B
on a  X=A donc c.x=a.x^k donc c=a. x^(k-1)=a.x^(1-1)=a donc c=a
donc a^(A+B)=b. a^B donc b =a^B
en remplacant au tout début et en simplifiant on obtient (ax)^X=b. x^X   donc b=x^X , ce qui réalise ce qui est demandé
sauf erreur
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyVen 19 Juil 2013, 00:36

elidrissi a écrit:
voila, la generalisation
soit A B et X des nombres tels que
X^(A+B)=B. A^B
on pose X=c.x ,A=a. x^k et B=b. x^n tel que x est un nombre premier et a et b nadmettent pas la division sur x
pour que cela se réalise, il faut que les puissances des x des 2 cotées soit égales, donc:
x^(A+B)=x^(k+B)  . x^n
donc A+B=kB+n , equation déja résolue ( la methode est un tout petit peu differente, mais  je vais pas la mettre)
pour que cela soit vrai , ces valeurs k=1 ,n= X=A et B=X^X doivent réaliser c^(A+B)=b. a^B

on a  X=A donc c.x=a.x^k donc c=a. x^(k-1)=a.x^(1-1)=a donc c=a
donc a^(A+B)=b. a^B donc b =a^B
en remplacant au tout début et en simplifiant on obtient (ax)^X=b. x^X   donc b=x^X , ce qui réalise ce qui est demandé
sauf erreur
L'équation diophantienne que tu as trouvé admet une infinité de solutions.
Je pense qu'il te faut plus d'argument pour aboutir à k=1.
De plus, je ne vois pas comment tu as fait pour conclure que n=X=A!!
(En admettant que tu as eu k=1, tu n'aura que A=a).
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyDim 28 Juil 2013, 21:58

bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 29 Juil 2013, 21:56

elidrissi a écrit:
bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
Ce n'est pas la même chose. Aucune particularité n'est donnée aux entiers vérifiant l'équation: A+B=k.B+n.
Et voici un contre exemple: 8+5=2.5+3 (A=8, B=5, k=2 et n=3).
Il faut changer d'optique...
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Vz
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyMar 30 Juil 2013, 17:27

alidos a écrit:
Exercice 5

soit a,b,x  des entiers naturelles  tels que

Marathon d'arithmetique  Gif

prouver que Marathon d'arithmetique  Gif  et Marathon d'arithmetique  Gif

 
Dans la suite on notera Marathon d'arithmetique  0bab1f36ade56436062e4f59e3c824982fa12d19 la valuation p-adique de Marathon d'arithmetique  D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa, on introduit aussi le petit lemme suivant qui nous servira à plusieurs reprises dans la démonstration :
si Marathon d'arithmetique  D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa est un entier naturel non nul alors pour tout nombre premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 on a Marathon d'arithmetique  0b888636720ab474f8d7e9e86240661674b80aac 
 
Maintenant on commencera par supposer que les entiers Marathon d'arithmetique  94425fe1c98a240c6bf634863e385e60719c571d et Marathon d'arithmetique  E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 sont non nuls sans quoi le problème devient immédiat, on a donc pour tout nombre premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 l'égalité Marathon d'arithmetique  34da8ab496e48258d200a3f013920b32d90d034d, une bonne première chose est de poser Marathon d'arithmetique  917d2434d4ccbaf0bea4e0c8d6de3397de112940 si bien que l'on peut trouver deux entiers Marathon d'arithmetique  A0f1490a20d0211c997b44bc357e1972deab8ae3 et Marathon d'arithmetique  22ea1c649c82946aa6e479e1ffd321e4a318b1b0 premiers entre eux tels que Marathon d'arithmetique  Bd08807f54ef59724e8ab05f8be2ec2bc59dcab6 et Marathon d'arithmetique  A3d9d1e15d7e038008761bcf41989ffc343a8aeb, l'égalité devient Marathon d'arithmetique  999debd2b90531942a99226b1f49f0b9550fdc4a, donc il est clair que Marathon d'arithmetique  3a6a16552e246af497720ffdfe6091b42d2f8938 est un diviseur de Marathon d'arithmetique  5b92e58833629d32169e1802d93dcf1d812122b5 et comme cela vaut pour tout nombre premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 on peut écrire Marathon d'arithmetique  6b201ff828e911f9b1d484f62074892343574057pour un certain entier naturel Marathon d'arithmetique  95cb0bfd2977c761298d9624e4b4d4c72a39974a, supposons dans un premier temps que Marathon d'arithmetique  3dec964052d087e6c1883dcd0bcac40d3b0437a3 et soit un diviseur premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 de Marathon d'arithmetique  A0f1490a20d0211c997b44bc357e1972deab8ae3, montrons que ce choix implique Marathon d'arithmetique  02df51a7fef91db60105bdcb0a68ff1464e29f49, si tel n'était pas le cas alors Marathon d'arithmetique  C7f8091ed98382b8e54ac1377a7b6edd1737d048 et comme on a déjà montré que Marathon d'arithmetique  505f9aa37ad1e3fd49a1b48102bd2df703b8f3e3 alors on a nécessairement Marathon d'arithmetique  4647a6d834eb496a9e2869cf0b8bd84d34130d65 donc en écrivant Marathon d'arithmetique  A3d9d1e15d7e038008761bcf41989ffc343a8aeb on voit bien que Marathon d'arithmetique  587ab081c8552908b46e3e5930404d2db33806c8 cela contredit le fait que Marathon d'arithmetique  6bf33c5b4d37bfc7f0b29f38c3f4cacd89451bcd de manière similaire on peut remarquer que Marathon d'arithmetique  Cd268d8a834e3742c9dc3c7af37e93dd50c7a5f1. Or l'équation peut s'écrire aussi de la forme Marathon d'arithmetique  Fb3e5f27507b8932b42e8da600e6de28cf4a3d67 avec un tel choix du nombre premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 on doit avoir Marathon d'arithmetique  9b90620fddcf2aba98ba7d65f6ce602bb73979a9, et comme Marathon d'arithmetique  Fea2ebb7c411f59ccc659b7869e246b0ba8c7e65 alors Marathon d'arithmetique  3731ebad73ca4dced03e7a81eef6c52b64f48a83 et donc Marathon d'arithmetique  6b35aff6898310e618156b58628fcefe5971aec1 d'après le lemme ce qui est absurde. On vient donc de montrer que Marathon d'arithmetique  1216a900d1e9e642197d89a72d94c004218281f0, si Marathon d'arithmetique  7157b39a0263327440e926c5b4f2a4d573511d7a on obtient facilement Marathon d'arithmetique  1d20e80971acf47cf79f8cb665fdcb9ffae6fd91 sinon l'égalité Marathon d'arithmetique  34da8ab496e48258d200a3f013920b32d90d034d montre que Marathon d'arithmetique  62d3dc031379465952c481b507cdd2415c0795a4, or l'inégalité de la moyenne arithmérique géométrique donne:
 Marathon d'arithmetique  E669bbe3955f6061478a42cb99808159268774ec 
et donc Marathon d'arithmetique  9817bace6b3a545da3e475ae5f008e335cdfabc5 d'autre part on a évidemment Marathon d'arithmetique  8204188c6dc0c568731b8e7807745f3d27cec7b6 car sinon on aura Marathon d'arithmetique  7e8c8c7474219d8ed36506904eee8cf580c00868 ce qui est faux, ainsi pour tout diviseur premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 de Marathon d'arithmetique  E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 on a Marathon d'arithmetique  0a0db4d83ed26f1400bacad9216de36a1ff6dde0 donc on a nécessairement Marathon d'arithmetique  36542c84c9d7e80cb75ec48be836a4b28072d191 pour tout diviseur premier Marathon d'arithmetique  516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 de Marathon d'arithmetique  E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 comme cela est clairement vrai aussi pour Marathon d'arithmetique  27258451d89e05e997a0217c42dd6f1644753041 on a donc Marathon d'arithmetique  37a7c009bcf86432b3dec96a22c6276c64077ee6 et Marathon d'arithmetique  85b76abaa9bd47459c7acd5f9ec77740c1cc8732 cela permet de conclure Marathon d'arithmetique  5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyJeu 01 Aoû 2013, 00:09

nmo a écrit:
elidrissi a écrit:
bonsoir, lis le post davant stp. cest en prenant x premier, la cest un peu different mais cest a peu pres la meme chose pour ce passage en rouge Very Happy
Ce n'est pas la même chose. Aucune particularité n'est donnée aux entiers vérifiant l'équation: A+B=k.B+n.
Et voici un contre exemple: 8+5=2.5+3 (A=8, B=5, k=2 et n=3).
Il faut changer d'optique...

a part que ces nombres ne realisent pas les conditions posees Wink

'fin, sauf erreur Very Happy
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 22 Fév 2014, 10:43

Pourquoi ne pas reprendre Ce sujet d'Arithmétique? vu que il ya eu un marathon d'inegalités un autre d'EF et un petit troisième de géométrie.
Les règles sont claires: qui résoud un exercice (en Spoiler) en poste un nouveau.
Exercice 6:
Montrer que si 2^n − 1 est un nombre premier, alors n est également premier.
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 22 Fév 2014, 11:17

Solution 6:
 

N.B les nombres de la forme 2^p-1 où p est un nombre premier sont appelés nombres de Mersenne
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptySam 22 Fév 2014, 11:19

Exercice 7

Pour quelles valeurs de a l'équation x²+axy+y²=1 admet-elle un infinité de solutions dans Z ?
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Lonely-Guy
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  EmptyLun 24 Fév 2014, 08:25

Signe:

On remarque que x=1 y=-a est toujours solution de l'équation
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MessageSujet: Re: Marathon d'arithmetique    Marathon d'arithmetique  Empty

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