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 direction mp mp*

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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 23 Aoû 2013, 11:25

Exo 55:
Trouver les triplets (m,n,p)€IN^3 tq cos(pi/m)+cos(pi/n)=cos(pi/p)
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 13:05

si m>2 et n>2 bon c pas possible
m=2 n=p
n=2 m=p
m=n=p=2
si m=1 p vaut forcement 1 et n=2
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 13:14

exo 56
soit G un groupe fini et m le plus petit entier tq (x_1,x_2,...x_m) soit generateur de G montrer que card(G)>=2^m
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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 14:12

galillee56 a écrit:
si m>2 et n>2 bon c pas possible
m=2 n=p
n=2 m=p
m=n=p=2
si m=1 p vaut forcement 1 et n=2
Comment tu as prouvé que ce n'est pas possible? Il faut détailler.
Pour les autres cas, c'est bon.
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 15:40

si m>2 et n>2 alors m>=3 et n>=3 donc cos(pi/n)+cos(pi/m)>=1 soit cos(pi/p)>=1 impossible
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 22:01

Solution exo 56
Il est évident que card de G est minimal si tout élément de G est d'odre 2( tout élément est l'inverse de lui même) alors dans ce cas cardG=card{prod x_i^(a_i)} avec a_i dans {0,1} alors cardG=sum(k de 0  à m) C( k,m)=2^m donc card(G)》2^m
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptySam 24 Aoû 2013, 23:31

exo57:
soit k dans N calculer dans Z/pZ som(x^k, x parcourant Z/pZ) p premier
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expert_run
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyDim 25 Aoû 2013, 01:57

galillee56 a écrit:
exo57:
soit k dans N calculer dans Z/pZ som(x^k, x parcourant Z/pZ) p premier
soit P(X)=X^(p_1)-1 ;  par le petit théorème de fermat P admet 1/;..,(p-1)/  (avec x/la classe d'equivalence de x) .
notons S_k la somme en question, on remarque alors par l utilisation de fermat  que S_k=S_r avec r le reste de la division euclidienne de k par p-1.
par application des sommes de newton on obtient:
S_k=(p-1)/ si k=0 mod(p-1) et 0/ sinon.
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyDim 25 Aoû 2013, 10:50

expert_run a écrit:
galillee56 a écrit:
exo57:
soit k dans N calculer dans Z/pZ som(x^k, x parcourant Z/pZ) p premier
soit P(X)=X^(p_1)-1 ;  par le petit théorème de fermat P admet 1/;..,(p-1)/  (avec x/la classe d'equivalence de x) .
notons S_k la somme en question, on remarque alors par l utilisation de fermat  que S_k=S_r avec r le reste de la division euclidienne de k par p-1.
par application des sommes de newton on obtient:
S_k=(p-1)/ si k=0 mod(p-1) et 0/ sinon.
bien joue expert-run
voici un exo un peu plus subtil
exo 58:
prouver que toute matrice de trace nul est semblable a une matrice de diagonal nul.
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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMar 27 Aoû 2013, 14:14

galillee56 a écrit:
voici un exo un peu plus subtil
exo 58:
prouver que toute matrice de trace nul est semblable a une matrice de diagonal nul.
L'exercice est déjà proposé ici dans le forum:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t13003-matrice-de-trace-nulle-et-matrice-a-diagonale-nulle.
Que quelqu'un propose un nouvel exercice. Et merci.
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Oty
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMar 27 Aoû 2013, 14:50

oral central (59) : soit,
direction mp mp* - Page 11 Gif.latex?n_{1},&space;n_{2},...,n_{k}\in&space;\mathbb{N}~~tel~~que~~:&space;\\n_{1}|2^{n_{2}}-1&space;,&space;n_{2}|2^{n_{3}}-1,...,&space;n_{k}|2^{n_{1}}-1&space;\\&space;Prouver~~que~~:&space;n_{1}=n_{2}=..
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMar 27 Aoû 2013, 15:25

nmo a écrit:
galillee56 a écrit:
voici un exo un peu plus subtil
exo 58:
prouver que toute matrice de trace nul est semblable a une matrice de diagonal nul.
L'exercice est déjà proposé ici dans le forum:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t13003-matrice-de-trace-nulle-et-matrice-a-diagonale-nulle.
Que quelqu'un propose un nouvel exercice. Et merci.
desole nmo j'avais pas remarque
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expert_run
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMer 28 Aoû 2013, 18:53

Oty a écrit:
oral central (59) : soit,
direction mp mp* - Page 11 Gif.latex?n_{1},&space;n_{2},...,n_{k}\in&space;\mathbb{N}~~tel~~que~~:&space;\\n_{1}|2^{n_{2}}-1&space;,&space;n_{2}|2^{n_{3}}-1,...,&space;n_{k}|2^{n_{1}}-1&space;\\&space;Prouver~~que~~:&space;n_{1}=n_{2}=..
Solution exercice 59:
On suppose que tout les n_i sont différents de 1.
Soient p_i le plus petit premier diviseur de n_i et  a_i le plus petit entier non nul tq 2^(a_i)=1 mod(p_i) ( un tel élément existe puisque par le petit théorème de fermat l'ensemble  {k/2^k=1mod(p_i)} est non vide; il contient p_i-1}
et puisque  2^(n_(i+1))=1[p_i] alors  a_i divise n_(i+1) et p_i -1
donc p_(i+1)<=a_i<p_i ce qui confirme que la suite des p_i est strictement décroissante et par suite p_1<p_1****absurde*****
Alors il existe au moins un n_i égal à 1. (Et par une récurrence nous obtenons que n_i=1 pour tout i entre 1 et k)


Dernière édition par expert_run le Mer 28 Aoû 2013, 19:13, édité 1 fois
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expert_run
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMer 28 Aoû 2013, 19:02

Exercice 60:
On rappelle que si G est un groupe fini et H un sous groupe de G; l'indice de H dans G est l'entier [G:H]=card(G)/card(H)
Soit p>=5 un nombre premier. Si H est un sous groupe du groupe symétrique S_p tel que [S_p:H]<=p-1, montrer que [S_p:H]€{1;2}.
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Oty
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMer 28 Aoû 2013, 19:03

expert_run a écrit:


donc p_(i+1)<=n_(i+1)<p_i

tu pourrais expliqué cette inégalité , pk n_(i+1) < p_{i} ?
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expert_run
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyMer 28 Aoû 2013, 19:12

Oty a écrit:
expert_run a écrit:


donc p_(i+1)<=n_(i+1)<p_i
 
tu pourrais expliqué cette inégalité , pk  n_(i+1) < p_{i} ?
je veux dire p_(i+1)<=a_i<p_i
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galillee56
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyJeu 29 Aoû 2013, 02:01

exo61
soit K un corps fini de cardinal q trouver le card(Gln(K)) et card(Sln(K))
Sln(K): ensemble de matrice de determinant 1 et a coeff dans K
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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyJeu 29 Aoû 2013, 20:08

expert_run a écrit:
Exercice 60:
On rappelle que si G est un groupe fini et H un sous groupe de G; l'indice de H dans G est l'entier [G:H]=card(G)/card(H)
Soit p>=5 un nombre premier. Si H est un sous groupe du groupe symétrique S_p tel que [S_p:H]<=p-1, montrer que [S_p:H]€{1;2}.
On a d'emblée: direction mp mp* - Page 11 Gif, donc direction mp mp* - Page 11 Gif.
On considère un cycle direction mp mp* - Page 11 Gifd'ordre direction mp mp* - Page 11 Gif, et on considère les sous groupes: direction mp mp* - Page 11 Gif, direction mp mp* - Page 11 Gif, ... et direction mp mp* - Page 11 Gif.
Il est très bien connu que tous ces sous groupes ont le même cardinal.
Si ces groupes étaient deux à deux disjoints, on aurait: direction mp mp* - Page 11 Gif.
Cela étant absurde. On déduit donc que ces sous groupes ne sont pas deux à deux disjoints.
En choisissant, un élément commun à direction mp mp* - Page 11 Gifet à direction mp mp* - Page 11 Gif, on déduit que direction mp mp* - Page 11 Gif.
Ainsi, on a prouvé que direction mp mp* - Page 11 Gifcontient tous les cycles d'ordre direction mp mp* - Page 11 Gif.
On sait aussi que de n'importe quel produit de cycles d'ordre direction mp mp* - Page 11 Gif, peut se mettre sous la forme d'un produit de transpositions.
Et que le produit de deux transpositions est soit un cycle d'ordre 3 ou un produit de cycles d'ordre 3.
Donc, tous les éléments du sous groupe direction mp mp* - Page 11 Gifsont des produits de cycles d'ordre 3.
Autrement dit, les cycles d'ordre 3 sont une partie génératrice de direction mp mp* - Page 11 Gif.
Deux cas se présentent:
--- Soit tous les éléments de direction mp mp* - Page 11 Gifsont des produits pairs de cycles d'ordre 3.
Cela veut dire que chaque élément de direction mp mp* - Page 11 Gifest de signature 1.
Donc direction mp mp* - Page 11 Gif, où direction mp mp* - Page 11 Gifest le sous groupe alternée.
On sait que direction mp mp* - Page 11 Gif, et dans ce cas, l'indice de direction mp mp* - Page 11 Gifest 2.
--- Sinon, direction mp mp* - Page 11 Gif, et dans ce cas l'indice de direction mp mp* - Page 11 Gifest 1.
CQFD.
Sauf erreurs.
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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 30 Aoû 2013, 08:37

galillee56 a écrit:
exo61
soit K un corps fini de cardinal q trouver le card(Gln(K)) et card(Sln(K))
Sln(K): ensemble de matrice de determinant 1 et a coeff dans K
--- Commençons par le groupe: direction mp mp* - Page 11 Gif.
Il est clair qu'il y a direction mp mp* - Page 11 Gifvecteurs différents de longueur direction mp mp* - Page 11 Gifconstruits à partir des éléments de direction mp mp* - Page 11 Gif.
Travaillons sur les lignes d'une matrice d'ordre direction mp mp* - Page 11 Gif:
Il faut choisir les ses vecteurs lignes parmi les vecteurs possibles de telle sorte qu'ils soient libres dans leurs ensemble.
La seule contrainte imposée sur le premier vecteur (celui de la première ligne), est de ne pas être nul.
On peut donc le choisir de direction mp mp* - Page 11 Gifmanières.
Pour le deuxième colonne, on doit tout simplement choisir un vecteur qui n'appartient pas au sous espace vectoriel engendré par le vecteur de la premiere ligne.
Et puisque le sous espace vectoriel engendré par le vecteur de la première ligne est de cardinal direction mp mp* - Page 11 Gif, on peut faire ce choix avec direction mp mp* - Page 11 Gifmanièrères.
Et on continue ainsi...,
La réponse est alors: direction mp mp* - Page 11 Gif.
--- Maintenant, le groupe direction mp mp* - Page 11 Gif:
Puisqu'un déterminant est une forme multilinéaire sur l'ensemble des éléments de direction mp mp* - Page 11 Gif, il peut prendre les direction mp mp* - Page 11 Gifvaleurs possibles.
Mais, on s'intéressa ici à ce que le déterminant soit égale à 1.
Il est clair aussi que si le determinant n'est pas nul, il peut prendre direction mp mp* - Page 11 Gifvaleurs, et cela d'une manière uniforme.
C'est à dire le nombre de matrice à déterminant égale à 1, est égale au nombre de matrice dont le determinant est égale à n'importe quel élément non nul de direction mp mp* - Page 11 Gif.
Dans la première question, on a calculé le nombre de matrice dont le determinant est non nul.
Donc, le nombre de matrices dont le déterminant est 1 est égale à: direction mp mp* - Page 11 Gif.latex?\text{Card}(Sl_n(K))=\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)}{p-1}=q^{n-1}.
Sauf erreurs.
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galillee56
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 30 Aoû 2013, 08:50

bien joue nmo c'est les bonnes solutions pour les 2 exo Wink
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 30 Aoû 2013, 08:59

M nmo vous postez un exo ou bien je m'en occupe ?
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 30 Aoû 2013, 09:08

galillee56 a écrit:
M nmo vous postez un exo ou bien je m'en occupe ?
Bon, je n'ai pas d'exercices intéressants pour le moment. Tu peux t'en occuper, et merci.
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyVen 30 Aoû 2013, 09:52

Exo 62: soit A dans Mn(R) montrer qu'il existe U et V dans On(R) et D diagonale tq A=UDV
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyDim 01 Sep 2013, 17:36

 Autre solution (52)
L'inégalité étant équivalente à direction mp mp* - Page 11 2a9b61e8952c29f2fcb24c8655bfa21690a00d93 avec direction mp mp* - Page 11 9619d5d2a728e0aa2bf72e1ed5b1bc275e175bfd on peut alors sans perte de généralité supposer que direction mp mp* - Page 11 17e6d4902309b108ddc3ab57e196565bbaadff50, il suffit donc de démontrer avec cette hypothèse que direction mp mp* - Page 11 6543cf74de7a6bab09d3f294fbf90562ae6fa21f. Posons direction mp mp* - Page 11 426d6f2f976832295222d529157e1822283a73dc, remarquons que direction mp mp* - Page 11 Cf3d605543dc1302be478ad6a84c5187bb6ec680 donc une simple intégration par partie donne direction mp mp* - Page 11 Bd06af2ba4d1565da656563345372a935a870a50, le résultat est donc immédiat dès que l'on montre que direction mp mp* - Page 11 D5481ca760c04ae5a3ad61c0e277dac2e6afc72c puisque direction mp mp* - Page 11 C1cdedf8fc5edc673c2427408bf0cd65625b46d2 par hypothèse. Or cela découle de la convexité de direction mp mp* - Page 11 E69f20e9f683920d3fb4329abd951e878b1f9372 puisque direction mp mp* - Page 11 F59a0989af9c31474459442010970a896e998cf1 car en effet direction mp mp* - Page 11 Fd7459867a13c00b70a815f0bdd29c43beb6bf90 direction mp mp* - Page 11 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5

solution (62):


Si la matrice direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b est inversible alors la matrice direction mp mp* - Page 11 A891dd0d20a3324e776ff1da64fe4bfa52b1033f est symétrique définie positive, on peut donc trouver une matrice orthogonale direction mp mp* - Page 11 C9ee5681d3c59f7541c27a38b67edf46259e187b est une matrice diagonale direction mp mp* - Page 11 50c9e8d5fc98727b4bbc93cf5d64a68db647f04f telles que direction mp mp* - Page 11 2c3f01f32f3ee651c655af89ab097a46ba85cc11, il suffit donc de poser direction mp mp* - Page 11 39a33a819222eae576f167abaf321902f873514c et de remarquer que cette matrice est orthogonale, si maintenant direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b n'est pas inversible on peut alors introduire une suite direction mp mp* - Page 11 Ddabd45cc02c9fbb5c425b11ae40086596bbfe56 de matrices inversibles tendant vers direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b et introduire également la suite direction mp mp* - Page 11 9960042eadffce34a6a6f831e7c43736b7da4d23 telle que direction mp mp* - Page 11 F05019dc8167547876ef3ef9264f3b38cb8ac296 on peut facilement montrer que cette suite est bornée donc on peut en extraire une suite convergente, comme direction mp mp* - Page 11 D515e3d62fd987af9a4191aca5d2378954f75a4d et l'espace des matrices diagonaux sont fermés on peut on en déduire directement le résultat direction mp mp* - Page 11 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 11 EmptyDim 01 Sep 2013, 19:11

Vz a écrit:
 Autre solution (52)
L'inégalité étant équivalente à direction mp mp* - Page 11 2a9b61e8952c29f2fcb24c8655bfa21690a00d93 avec direction mp mp* - Page 11 9619d5d2a728e0aa2bf72e1ed5b1bc275e175bfd on peut alors sans perte de généralité supposer que direction mp mp* - Page 11 17e6d4902309b108ddc3ab57e196565bbaadff50, il suffit donc de démontrer avec cette hypothèse que direction mp mp* - Page 11 6543cf74de7a6bab09d3f294fbf90562ae6fa21f. Posons direction mp mp* - Page 11 426d6f2f976832295222d529157e1822283a73dc, remarquons que direction mp mp* - Page 11 Cf3d605543dc1302be478ad6a84c5187bb6ec680 donc une simple intégration par partie donne direction mp mp* - Page 11 Bd06af2ba4d1565da656563345372a935a870a50, le résultat est donc immédiat dès que l'on montre que direction mp mp* - Page 11 D5481ca760c04ae5a3ad61c0e277dac2e6afc72c puisque direction mp mp* - Page 11 C1cdedf8fc5edc673c2427408bf0cd65625b46d2 par hypothèse. Or cela découle de la convexité de direction mp mp* - Page 11 E69f20e9f683920d3fb4329abd951e878b1f9372 puisque direction mp mp* - Page 11 F59a0989af9c31474459442010970a896e998cf1 car en effet direction mp mp* - Page 11 Fd7459867a13c00b70a815f0bdd29c43beb6bf90 direction mp mp* - Page 11 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5

solution (62):


Si la matrice direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b est inversible alors la matrice direction mp mp* - Page 11 A891dd0d20a3324e776ff1da64fe4bfa52b1033f est symétrique définie positive, on peut donc trouver une matrice orthogonale direction mp mp* - Page 11 C9ee5681d3c59f7541c27a38b67edf46259e187b est une matrice diagonale direction mp mp* - Page 11 50c9e8d5fc98727b4bbc93cf5d64a68db647f04f telles que direction mp mp* - Page 11 2c3f01f32f3ee651c655af89ab097a46ba85cc11, il suffit donc de poser direction mp mp* - Page 11 39a33a819222eae576f167abaf321902f873514c et de remarquer que cette matrice est orthogonale, si maintenant direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b n'est pas inversible on peut alors introduire une suite direction mp mp* - Page 11 Ddabd45cc02c9fbb5c425b11ae40086596bbfe56 de matrices inversibles tendant vers direction mp mp* - Page 11 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b et introduire également la suite direction mp mp* - Page 11 9960042eadffce34a6a6f831e7c43736b7da4d23 telle que direction mp mp* - Page 11 F05019dc8167547876ef3ef9264f3b38cb8ac296 on peut facilement montrer que cette suite est bornée donc on peut en extraire une suite convergente, comme direction mp mp* - Page 11 D515e3d62fd987af9a4191aca5d2378954f75a4d et l'espace des matrices diagonaux sont fermés on peut on en déduire directement le résultat direction mp mp* - Page 11 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5
bien joue Vz
exo63
soit A et B dans Mn(Z) tel que pour tout k dans {0,1,...,2n} A+kB soit dans Gln(Z) calculer det(A) et det(B).
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