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 direction mp mp*

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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 19:52

galillee56 a écrit:
exo63
soit A et B dans Mn(Z) tel que pour tout k dans {0,1,...,2n} A+kB soit dans Gln(Z) calculer det(A) et det(B).
Le problème est classique, et en voici une solution:
Il est facile de remarquer que si direction mp mp* - Page 12 Gifest une matrice de direction mp mp* - Page 12 Gif, alors son determinant est ou bien 1, ou bien -1.
En effet, on aura: direction mp mp* - Page 12 Gif.latex?M, donc direction mp mp* - Page 12 Gif.latex?\det(M).
Il s'ensuit que direction mp mp* - Page 12 Gifest un entier divisant 1, donc direction mp mp* - Page 12 Gifou direction mp mp* - Page 12 Gif.
Pour le problème proposé, il suffit de considérer le polynôme de degré 2n, défini par: direction mp mp* - Page 12 Gif.
Ce polynôme admet 2n+1 racines selon l'hypothèse et le lemme démontré, il est donc nul.
Et on déduit donc que: direction mp mp* - Page 12 Gif.
Et, donc direction mp mp* - Page 12 Gif.
---Pour direction mp mp* - Page 12 Gif, il s'ensuit immédiatement que: direction mp mp* - Page 12 Gif, soit direction mp mp* - Page 12 Gifou direction mp mp* - Page 12 Gif.
---On a aussi: direction mp mp* - Page 12 Gif.latex?(\forall x\in\mathbb{R}^*): x^{2x}, donc direction mp mp* - Page 12 Gif.
Et lorsqu'on fait tendre x vers direction mp mp* - Page 12 Gif, il vient que: direction mp mp* - Page 12 Gif, soit direction mp mp* - Page 12 Gif.
Sauf erreurs.
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Vz
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 20:18

Je poste cet exercice à fin de respecter le marathon (64):
Soient direction mp mp* - Page 12 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b et direction mp mp* - Page 12 7cf184f4c67ad58283ecb19349720b0cae756829 dansdirection mp mp* - Page 12 9c9c8dc510bb2fee917834b1fe06951fb037a1d0. On suppose que direction mp mp* - Page 12 Befe9f8753eb9020949db0443e122c30fde1621d. Montrer :


direction mp mp* - Page 12 8b87cc113fff5955c0595416ac6532430c3947b5
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galillee56
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 20:54

Vz a écrit:
Je poste cet exercice à fin de respecter le marathon (64):
Soient direction mp mp* - Page 12 6dcd4ce23d88e2ee9568ba546c007c63d9131c1b et direction mp mp* - Page 12 7cf184f4c67ad58283ecb19349720b0cae756829 dansdirection mp mp* - Page 12 9c9c8dc510bb2fee917834b1fe06951fb037a1d0. On suppose que direction mp mp* - Page 12 Befe9f8753eb9020949db0443e122c30fde1621d. Montrer :


direction mp mp* - Page 12 8b87cc113fff5955c0595416ac6532430c3947b5
H est de rend 1 donc soit C une colonne tq H=(a_1C|a_2C|...a_nC)
donc det(A+H)=det(C_1+a_1C|C_2+a_2C|..|C_n+a_nC)=det(A)+som(det(C_1|C_2..|C_{i-1}|a_iC|C_{i+1}..|C_n), i=1..n) cette somme on l appelle S donc det(A+H)=det(A)+S et det(A-H)=det(A)-S donc det(A+H)det(A-H)=det(A)^2-S^2<det(A)^2
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Vz
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 21:15

Oui bien joué galillee56, tu peux poster un nouveau exercice, j'espère qu'il sera intéressant Smile
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galillee56
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 21:16

exo65
soit f C1 de [1,+inf[->R tel que f'/f tend vers -inf en +inf montrer que que la serie de terme general f(n) et trouver un equivalent de la somme(f(k),k=n...inf)
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hilbert_1988
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyDim 01 Sep 2013, 22:14

exo66
Soit p un nombre premier tel que direction mp mp* - Page 12 Gif
Montrer que :

direction mp mp* - Page 12 Gif
Tel que direction mp mp* - Page 12 Gif la partie entière de x.
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Vz
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyLun 02 Sep 2013, 17:45


Solution 65 :
Lorsque tu écris direction mp mp* - Page 12 Beb5e7944283f2ccf4a5beb8afec2d83bf26c637 je suppose que l'énoncé sous entend que direction mp mp* - Page 12 4a0a19218e082a343a1b17e5333409af9d98f0f5 ne s'annule pas sur un voisinage en direction mp mp* - Page 12 Bdef0543744e33d999c617d7221590908f16e2c4, étant continue elle garde un signe constant sur un intervalle de la forme  direction mp mp* - Page 12 Bd32fedc26bc4784c2c0df3241ce98b8ff06380b, quitte à changer direction mp mp* - Page 12 4a0a19218e082a343a1b17e5333409af9d98f0f5 en direction mp mp* - Page 12 0abbcbcbe6d61abda4c58f24b76e0809f7c8b425 on peut également supposer que direction mp mp* - Page 12 4a0a19218e082a343a1b17e5333409af9d98f0f5 est positive sur direction mp mp* - Page 12 Ca73ab65568cd125c2d27a22bbd9e863c10b675d, avec ces hypothèses la fonction direction mp mp* - Page 12 9eb44d1d9682b585c5cf78027783df9d44da568b est bien définie sur direction mp mp* - Page 12 Ca73ab65568cd125c2d27a22bbd9e863c10b675d et est de classe direction mp mp* - Page 12 844efc19cdd07a04944cf5380d888a06a4bbbc2e, et on a donc pour tout direction mp mp* - Page 12 2b7409d537856996177b5e4bcf00a6b49f270f37,       direction mp mp* - Page 12 C1d1e1cc50e0ea86617a3208c6c935ae35f06204 qui tend vers direction mp mp* - Page 12 18787d835dea1ca698e365c252f82b506cecfce7, il existe donc direction mp mp* - Page 12 332eac9bf716451825e982bbf25eadd54a4bd527 tel que pour tout direction mp mp* - Page 12 E9c24d2b1aa909ecc31e506651dc06a246af40c3 ainsi pour tout x>B 
direction mp mp* - Page 12 Be9787d8be8558dab8c9b0fdb0e5255fbb2ca737 
donc direction mp mp* - Page 12 F23cc1b2a2f005831e6edea0e3f5e3f6d53b8752 si bien que direction mp mp* - Page 12 Dc929825f8ed157ef23d68e832d16f25c8ad2c60 donc la série de terme générale direction mp mp* - Page 12 A53ffd447bcf898b6cc05d3a4f5cf05db89f6f08 converge, et le reste partiel
 direction mp mp* - Page 12 4f5a48509d5fc5d5f61391c66e805d6f98553715 
existe, pour chercher un équivalent de ce reste on va introduire à nouveau la fonction direction mp mp* - Page 12 54fd1711209fb1c0781092374132c66e79e2241b définie sur direction mp mp* - Page 12 Ca73ab65568cd125c2d27a22bbd9e863c10b675d par direction mp mp* - Page 12 8ca8869e8c0b8ae83d02cba488faebd57763186f, pour tout direction mp mp* - Page 12 04809d88c41d667afb40b684f0ded0498cabfe2f on peut dire que direction mp mp* - Page 12 18c328c90a645106c572ea0e422862c11303cdf1 pour un certain direction mp mp* - Page 12 Ba29f1af0d55bec485908ff4995172ba70d55a4b, la suite direction mp mp* - Page 12 0e262d82ab0c3e2d030dcd3862b68aa258a21f68 tend évidemment vers l'infini, par conséquent direction mp mp* - Page 12 6d245958fce075861ae1a1056a03bfa96676eaf6 tend vers direction mp mp* - Page 12 18787d835dea1ca698e365c252f82b506cecfce7 donc on peut affirmer que direction mp mp* - Page 12 B493d2bcd32f821fb4f42185e4acf7d8aa2efec7, comme la série de terme général direction mp mp* - Page 12 A53ffd447bcf898b6cc05d3a4f5cf05db89f6f08  positif à partir d'un certain rang converge, alors
 direction mp mp* - Page 12 E2f11b6e0b293733ecda48789d18e162b4740053 
cela prouve que direction mp mp* - Page 12 1d0ebe737710e765154cbcc4819b0d5451a4136d donc 
direction mp mp* - Page 12 C1a5b0df41c4e487f8b4932acc96cb08d4ba2165
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galillee56
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyLun 09 Sep 2013, 21:33

je souhaite une agréable rentrée a tout ceux qui sont en prepa bref il y en aurai peut etre plus assez de temps pour ce forum bref voici un exo X assez sympas
soit k dans {1,...n} et n_k le reste de la division de n par k et p_n la probabilité que n_k>=k/2. calculer p_n et trouver la limite de p_n quand n tend vers l infini bonne chance Wink
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Saiichi
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptyMar 02 Sep 2014, 16:03

salut qui veut terminer ce marathon Very Happy ?
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nmo
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptySam 13 Sep 2014, 10:43

Saiichi a écrit:
salut qui veut terminer ce marathon Very Happy ?
Il y a deux exercices sans solutions dans cette page même (L'exercice 66 et celui de galillee qui doit porter le numéro 67). Je propose un autre exercice, afin de revivre le topic:
Exercice 68:
Soit direction mp mp* - Page 12 Gif.latex?P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_k un polynôme de degré  direction mp mp* - Page 12 Gif.
1- Montrez que si direction mp mp* - Page 12 Gif est scindé sur direction mp mp* - Page 12 Gif, alors direction mp mp* - Page 12 Gif l'est aussi.
2- Montrez que si direction mp mp* - Page 12 Gif est scindé sur direction mp mp* - Page 12 Gif, alors direction mp mp* - Page 12 Gif.
3- Montrez que si direction mp mp* - Page 12 Gif est scindé sur direction mp mp* - Page 12 Gif, alors direction mp mp* - Page 12 Gif.latex?(\forall k\in\{1,\cdots,n-1\}):a_{k+1}.
Bonne chance.
P.S: La question 2 est déjà proposée dans ce marathon.
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galillee56

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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 EmptySam 13 Sep 2014, 22:32

ca fais plaisir de reprendre ce topic
donc en reponse a l'exo 68
Spoiler:
 
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MessageSujet: Re: direction mp mp*   direction mp mp* - Page 12 Empty

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