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 exercice éq fonc

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2 participants
AuteurMessage
L-W-P
Maître
L-W-P


Masculin Nombre de messages : 238
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exercice éq fonc Empty
MessageSujet: exercice éq fonc   exercice éq fonc EmptyDim 15 Sep 2013, 23:57

Trouver toutes les fonctions strictement croissantes d'entiers naturels qui vérifient : f(m.n)=f(m).f(n) et f(2)=2. (ALMOUFID PAGE 46)
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
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MessageSujet: Re: exercice éq fonc   exercice éq fonc EmptyLun 16 Sep 2013, 20:16

0=<f(0)<f(1)<f(2)=2 ==> f(0)=0 et f(1)=1
2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2²)=f(2)²=4 ===> f(3)=3

Par récurrence sur m: pour tout m>=0 on a f(n)=n pour tout n=<2^m
pour m=0 ou m=1 c'est ok
supposons que c'est vrai pour un m
soit n entier : n=<2^(m+1)

si n pair ==> n/2=<2^m alors par hypothèse f(n/2)=n/2
mais f(n)=f(2.n/2)=f(2)f(n/2)=n

si n impair ==> n=2k+1 et 2k+1<2^(m+1) ==> 2k+2=<2^(m+1)
==> k+1=<2^m alors par hypothèse f(k+1)=k+1 et f(k)=k
or 2k<n<2(k+1) d'où 2k<f(n)<2(k+1) ==> f(n)=2k+1=n
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