exo d'aréthmitique

1) p/n² <--->p/n.n <----> p/n ou p/n (car p est premier)
----> p/n
2)supposons que pq est un carré parfait
donc il existe un n de N tq pq=n²
puisque PGDC(p,q)=1
p et q sont des carrés parfaits (c facile de montrer ca en faisant la décomposition de n en facteurs premiers)
ce qui est faux par absurde car p et q sont des nombres premiers
donc pq n'est pas un carré parfait
3)a-- c'est évident
b-- p/x et p/y --->p/x²+y² <---> p/z² ---> p/z
p/x et p/z ---> p/x+z et p/x-z
<--> p/2 alpha² et p/2beta²
selon gauss p/alpha² et p/beta²
il s'ensuit que p/alpha et p/beta
c--
soit d=PGDC(x,y)
d/x et d/y ---> d/2alpha² et d/2beta² <--->d/2.PGDC(alpha²,beta²)
---> d=1 ou d=2
et puisque alpha est pair et beta est impair donc x est impair donc d/x --> d=1
de meme ,vérifiez que PGDC(x,z)=1 et PGDC(y,z)=1
4) x et y est z doit etre toutes impairs ou bien 2 sont impairs et l'un est pair
si z est impair donc z² est aussi impair donc x² et y² n'ont pas la meme parité
si z est pair alors x et y ont la me me parité
b--(z-y)(z+y)=4uv
<--> z²-y²=4uv <---> x²=4uv --->u²=wv
wv est un carré parfait et PGDC(w,v)=1
donc w et v sont des carrés parfaits

1) on suppose que p divise n²
par absurde si p ne divise pas n comme p est premier p et n sont premiers entre eux
donc p et n² le sont aussi et aisni comme p divise n² p=1 ce qui est faux.
Donc p divise n
2) par absurde on suppose que pq est un carré parfait qu'on note n².
Donc p divise n² et q divise n² donc p et q divisent n donc comme ppcm(p,q)=pq car ce sont deux nombres premiers differents pq divise donc n donc p²q² divise n²=pq (faux!)
3a)évident
3b)tu l’as fait bien.
3c) on suppose que x et y ne sont pas premiers entre eux donc il existe un nombre premier p qui divise x et y aussi.
p est clairement different de 2 car y est pair et x est impaire
donc p>=3 .
Ainsi p divise alpha et p divise beta et divise donc leur pgcd qui vaut 1 absurde car p est premier
Donc x et y sont premiers entre eux
La m&thode est analogue pour y et z
pour x et z on note d leur pgcd qui divise donc 2alpha au carré et 2beta au carré et divise donc leur pgcd qui vaut 2 , or x et z sont tous les deux impairs donc d=1.
4a)c’est clair.
‘b)u²=vw et w^v=1 c’est clair .
Donc v²^wv=v donc v²^u²=(v^u)²=v cela signifie que v est un carré parfait, la preuve est la meme pour W ce qui permet de conclure.

pour la premiere qustion je propose ce qui suit :
on P|n² et P premier:
donc PGSD (p;n)=1
d'ou selon le théoreme de gauss: P|n

legend-crush a écrit:

pour la premiere qustion je propose ce qui suit :
on P|n² et P premier:
donc PGSD (p;n)=1
d'ou selon le théoreme de gauss: P|n ( si facile et court ^^ )

C'est faux si pgcd(p,n)=1 alors pgcd(p,n²)=1, donc p|1 et donc p=1.
Et meme quand tu arrive à p|n tu peux encore "simplifier" par gauss à en donner p|1.

legend crash d'ou est ce que tu connais le theoreme de gauss alors que tu n'as que 15 ans

hussein a écrit:

legend crash d'ou est ce que tu connais le theoreme  de gauss alors que tu n'as que 15 ans

C'est ce qu'on appelle l'apprentissage je pense et ne pas se limiter au programme scolaire dérisoire , non ?

hussein a écrit:

legend crash d'ou est ce que tu connais le theoreme  de gauss alors que tu n'as que 15 ans

c'est une culture mathématique, je sais très bien que ça s'enseigne en 2ème bac

Mohammed_Lahlou a écrit:

legend-crush a écrit:

pour la premiere qustion je propose ce qui suit :
on P|n² et P premier:
donc PGSD (p;n)=1
d'ou selon le théoreme de gauss: P|n ( si facile et court ^^ )

C'est faux si pgcd(p,n)=1 alors pgcd(p,n²)=1, donc p|1 et donc p=1.
Et meme quand tu arrive à p|n tu peux encore "simplifier" par gauss à en donner p|1.

Bref, j'ai fait un fail total, je resonnais comme l'a fait yasserito en supposant que p|n² et p ne divise pas n ( la negation de la proposition a demontrer), il suffit ensuite de trouver la contradiciton grace au théoreme de gauss! Dsl